Les intégrales sont une partie importante de la théorie du calcul. Ils sont très utiles pour calculer les aires et les volumes de fonctions arbitrairement complexes, qui autrement sont très difficiles à calculer et sont souvent de mauvaises approximations de l’aire ou du volume délimité par la fonction. Les intégrales sont l’inverse de la différenciation et c’est pourquoi elles sont appelées anti-dérivées. Il existe des formules pour les intégrales des fonctions standard, mais ces formules ne s’étendent généralement pas aux cas où les fonctions deviennent complexes. Une de ces règles est la règle de substitution. Étudions cette règle en détail.
Table des matières
Règle de chaîne inversée
La règle de la chaîne pour les dérivées permet de calculer les dérivées pour des fonctions très complexes qui impliquent une ou plusieurs fonctions de base standard. Pour l’intégration dans de tels scénarios, il existe plusieurs astuces ou méthodes pour simplifier les calculs. Pour certaines catégories spéciales de fonctions, le règle de chaîne inversée est utilisé. Cette règle est aussi appelée «règle de substitution » ou la « u-règle de substitution ». Pour utiliser cette règle, la fonction doit avoir la forme ci-dessous,
f(g(x))g'(x)dx
Notez que dans la fonction de la forme donnée, à la fois la fonction g(x) et sa dérivée g'(x) sont présentes. Quelques exemples de telles fonctions sont
cos(x2).2xdx
Dans ce cas, g(x) = x2, f(x) = cos(x) et g'(x) = 2x. Maintenant, pour calculer les intégrales de telles fonctions en utilisant la règle de substitution, une petite modification est nécessaire. Considérez la forme générale de ces fonctions :
f(g(x))g'(x)dx
Soit u = g(x), différencier ce par rapport à x,
En utilisant ce résultat dans l’équation précédente,
f(u)du
Maintenant, cette intégrale peut être calculée et terminée en substituant la valeur de u dans le résultat final.
f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du, où u = g(x)
Calcul des intégrales à l’aide de la règle de la chaîne inverse
Il est essentiel de rechercher les fonctions possibles et leurs dérivées dans les fonctions intégrales données. La question naturelle qui vient à l’esprit est de savoir comment connaître la bonne substitution. Il n’y a pas de règles pour déterminer la substitution correcte. L’intuition pour reconnaître la bonne substitution se développe avec la pratique.
Exemple 1 : Calculez l’intégrale pour ∫cos(x2).2xdx.
Réponse:
F(x) = cos(x2).2xdx
Recherchez une fonction, et elle est dérivée dans l’ensemble de la fonction. Dans ce cas,
g(x) = x2 et g'(x) = 2x
Substitution, u = g(x)
u = x2
du = 2xdx
F(x) = cos(u)du
F(x) = sin(u) + C
F(x) = sin(x2) + C
Considérons maintenant un autre type d’intégrale :
Exemple 2 : Calculer l’intégrale pour ∫tan(x)dx.
Réponse:
F(x) = tan(x)dx
Cela peut être réécrit comme,
Remarquez, ici g(x) = cos(x) et g'(x) = -sin(x)
Substitution, u = g(x)
u = cos(x)
du = -sin(x)dx
-du = sin(x)dx
?? 
F(x) = -ln(u) + C
F(x) = -ln(cos(x)) + C
Erreurs à éviter lors de l’utilisation de la règle de la chaîne inversée
Il faut être prudent en choisissant la fonction « u » de la fonction intégrale d’origine. Si elle n’est pas choisie avec soin, les intégrales peuvent devenir trop complexes au lieu de se simplifier. De plus, dans certains scénarios, les fonctions u ne sont pas immédiatement visibles. La liste suivante présente certaines choses qui doivent être gardées à l’esprit lors de la résolution des problèmes intégraux avec la règle de la chaîne inversée.
1. Pour appliquer la règle de la chaîne inverse, l’intégrale doit être réécrite sous la forme,
w(u(x)).u'(x)
Où la fonction u est la fonction interne du facteur composite.
2. Lors de l’intégration de la fonction composite, la fonction externe ne doit être intégrée qu’après avoir correctement substitué la fonction u et ses dérivés.
3. Parfois, dans certaines situations, l’intégrale doit être divisée/multipliée par des facteurs constants de variables ou la fonction peut nécessiter une réorganisation. Par exemple,
F = tan(x)dx
Dans ce cas, la fonction u n’est pas complètement claire. Ainsi, tan(x) est réécrit en termes de sin(x) et cos(x).
F = 
Maintenant, il est clair que cos(x) est la fonction u.
Exemples de problèmes
Question 1 : Calculer l’intégrale pour ∫cos(ex).exdx.
Réponse:
F(x) = cos(ex).exdx
Recherchez une fonction, et elle est dérivée dans l’ensemble de la fonction. Dans ce cas,
g(x) = ex et g'(x) = ex
Substitution, u = g(x)
u = ex
du = exdx
F(x) = cos(u)du
F(x) = sin(u) + C
F(x) = sin(ex) + C
Question 2 : Calculez l’intégrale pour ∫(6x + 4)6.6dx.
Réponse:
F(x) = (6x + 4)6,6dx.
Recherchez une fonction, et elle est dérivée dans l’ensemble de la fonction. Dans ce cas,
g(x) = 6x + 4 et g'(x) = 6
Substitution, u = g(x)
u = 6x + 4
du = 6dx
F(x) = u6du
F(x) = 
+ C
F(x) = 
+ C
Question 3 : Calculer l’intégrale pour ∫(x2+ 1)3.2xdx.
Réponse:
F(x) = (x2 + 1)3.2xdx.
Recherchez une fonction, et c’est un dérivé de cette fonction dans la fonction d’origine. Dans ce cas,
g(x) = x2 + 1 et g'(x) = 2x
Substitution, u = g(x)
u = x2 + 1
du = 2xdx
F(x) = u3du
F(x) = 4
+ C
F(x) = 
+ C
Question 4 : Calculer l’intégrale pour 
.
Réponse:
F(x) =
Recherchez une fonction, et c’est un dérivé de cette fonction dans la fonction d’origine. Dans ce cas,
g(x) = x2 + 1 et g'(x) = 2x
Substitution, u = g(x)
u = x2 + 1
du = 2xdx
F(x) = 
F(x) = 
F(x) = 
Question 5 : Calculer l’intégrale pour 
.
Réponse:
F(x) =
Recherchez une fonction, et c’est un dérivé de cette fonction dans la fonction d’origine. Dans ce cas,
g(x) = x + 3 et g'(x) = 1
Substitution, u = g(x)
u = x + 3
du = dx
F(x) = 
F(x) = 
F(x) = ln(x + 3) + C
Question 6 : Calculer l’intégrale pour 
Réponse:
F(x) =
Recherchez une fonction, et elle est dérivée dans l’ensemble de la fonction. Dans ce cas,
g(x) = ln(x) et g'(x) = 
Substitution, u = g(x)
u = ln(x)dx
du = 
F(x) = u2du
F(x) = 
+ C
F(x) = 
+ C
Question 7 : Calculer l’intégrale pour ∫sin(1-x)cos(1-x)dx
Réponse:
F(x) = sin(1-x)cos(1-x)dx
Cette fonction peut être réécrite comme,
F(x) = 
Recherchez une fonction, et elle est dérivée dans l’ensemble de la fonction. Dans ce cas,
g(x) = 2(x -1) et g'(x) = 2
Substitution, u = g(x)
u = 2(x – 1)
du = 2dx
F(x) = 
F(x) = 
+ C
F(x) = 
+ C
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