- Définition : Soit f une application de G dans G′ ; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous x et y de G , on a : f(x×y)=f(x)×f(y).
Ainsi, Pourquoi Z * n’est pas un groupe ? L’ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ×), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d’inverse en général : par exemple, l’équation 3 · b = 1 n’admet pas de solution dans Z.
Qu’est-ce qu’un groupe Isomorphe ? Deux groupes sont dit isomorphes lorsqu’il existe un morphisme de groupes entre les deux qui est bijectif.
Table des matières
Qu’est-ce qu’un isomorphisme de groupe ?
En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ».
C’est quoi l’ensemble Z nZ ? On note Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalence : La classe d’équivalence d’un entier x est le sous-ensemble de Z formé des entiers de la forme kn+x avec k ∈ Z. Dans la suite, on représentera la classe d’équivalence de x par le reste r ∈ {0,…n − 1} de la division euclidienne de x par n.
Est-ce que Z est un groupe ?
On peut prouver qu’un groupe admet un unique élément neutre est unique et qu’un élément x admet un unique symétrique que l’on note souvent x−1 . Exemples : Z , muni de + , est un groupe.
Quand Dit-on qu’un groupe est abélien ?
Un groupe abélien G est dit divisible lorsque pour tout entier n > 0, G = nG. Les archétypes en sont le groupe additif Q des nombres rationnels et les p-groupes de Prüfer.
Quand Est-ce qu’un groupe est cyclique ?
En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique est un groupe qui est à la fois fini et monogène, c’est-à-dire qu’il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s’exprimer sous forme d’un multiple de a (en notation additive, ou comme puissance en notation …
Comment montrer qu’un groupe est monogène ?
un groupe. (G, .) est dit monogène s’il existe un élément x tel que pour tout élément y de (G, .), il existe un entier relatif k tel que y = xk. On note alors G = 〈x〉 et l’on dit que (G, .)
Quels sont les Sous-groupes de Z NZ +) ?
Re : sous groupe de Z/NZ Je souhaite prouver que tous sous groupes de Z/NZ est l’ensemble des multiples d’un diviseur de N ( de façon équivalente donc un ssi). Si G est un sous-groupe Z/NZ alors M=o(G)|N. Montre qu’alors G=<N/M> le groupe engendré par N/M (N divisé par M).
Comment déterminer les Sous-groupes de Z NZ ?
Pour etre un sous groupe de Z/12Z, il faut que l’élément neutre de Z/12Z, + soit dans le sous groupe. Soit H ce sous groupe, on a donc cl(0) dans H. Il faut que chaque élément qui a un symétrique dans Z/12Z soit dans H. Avec le théorème de Lagrange on a que H est de cardinal 1,2,3,4,6 ou 12.
Quels sont les différents types de groupes ?
La typologie des groupes
- Groupe restreint/organisation. a. Groupe restreint. Le groupe n’est pas une simple collection d’individus mais un ensemble réduit de personnes. …
- Groupe formel/ groupe informel. a. Groupe formel. Le groupe formel est construit autour de règles prédéfinies. …
- Groupe d’appartenance/ groupe de référence.
Est-ce qu’un sous-groupe est un groupe ?
Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d’élément neutre e.
Qui forme un groupe ?
Un groupe est un ensemble de personnes ayant des caractéristiques ou des buts communs socialement partagés. Une prémisse à l’étude des groupes est de considérer que leurs propriétés sont distinctes de celles des individus qui les composent.
Quels sont les 3 groupes sociaux ?
Les groupes primaires sont des groupes sociaux de taille restreinte, avec des relations de face à face, directes entre personnes qui se connaissent ; les groupes secondaires sont de plus grande taille avec des relations de nature plus fonctionnelles entre les personnes du groupe qui peuvent, d’ailleurs, ne pas se …
Quelles sont les caractéristiques d’un groupe ?
En plus d’être défini comme une entité à l’intérieur de laquelle des individus se perçoivent comme membre et établissent des relations, un groupe présente des caractéristiques propres. Durables, les trois principales caractéristiques sont : la taille du groupe, le statut et le rôle de ses membres.
Qu’est-ce qu’un groupe en algèbre ?
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l’algèbre générale. C’est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l’ensemble, un élément symétrique.
Pourquoi n +) n’est pas un groupe ?
(N,+) n’est pas un groupe : un entier naturel n’admet pas de symétrique pour l’addition. Mais 0 est neutre dans (N,+) : n + 0 = 0 + n pour tout n de N. (Z,+) est un groupe. (Z,-) n’en est pas un : en particulier (a – b) – c n’est pas égal à a – (b – c) !
C’est quoi un Sous-groupe strict ?
Définition : On dit qu’une partie H d’un groupe (G,⋅) est un sous-groupe de G si : H est stable par la loi ⋅ . (H,⋅) est lui-même un groupe.
