Classe 12 RD Sharma Solutions – Chapitre 18 Maxima et Minima – Exercice 18.5 | Ensemble 1

Question 1. Détermine deux nombres positifs dont la somme est 15 et dont la somme des carrés est minimale.

Solution:

Supposons que les deux nombres positifs sont x et y,

Et il est donné que x + y = 15 …..(i)

Soit donc P = x2 + y2 …..(ii)

A partir des eq (i) et (ii), on obtient

P = x2 + (15 – x)2

En différenciant par rapport à x, on obtient

dP/dx = 2x + 2(15 – x)(-1)

= 2x -30 +2x

= 4x ​​-30

Pour les maxima et les minima.

Mettez dP/dx = 0

4x – 30 = 0

x = 15/2

Puisque, d2P/dx2 = 4 > 0

Donc, x = 15/2 est le point des minima locaux,

De l’eq(i), on obtient

y = 15 – 15/2 = 15/2

Ainsi, les deux nombres positifs sont 15/2, 15/2.

Question 2. Divisez 64 en deux parties de telle sorte que la somme des cubes de deux parties soit minimale.

Solution:

Supposons que 64 soit divisé en deux parties, c’est-à-dire x et y

Donc, x + y = 64 …..(i)

Soit P = x3 + y3 ………(ii)

A partir des eq(i) et (ii), on obtient

P = x3 + (64 – x)3

En différenciant par rapport à x, on obtient

dP/dx = 3×2 + 3(64 – x)2 × (-1)

= 3×2 – 3 (4096 – 128x + x2)

= -3 (4096 – 128x)

Pour les maxima et les minima.

Mettez dP/dx = 0

-3 (4096 – 128x) = 0

x = 32

Maintenant,

d2s/dx2 = 384 > 0

Donc, x=32 est le point des maxima locaux.

Par conséquent, le 64 est divisé en deux parties égales qui est (32, 32)

Question 3. Comment choisir deux nombres, chacun supérieur ou égal à -2, dont la somme est 1/2 pour que la somme du premier et du cube du second soit minimum ?

Solution:

Supposons que x et y soient les deux nombres, tels que x, y -2 et

x + y = 1/2 ……(i)

Soit donc P = x + y3 …….(ii)

A partir des eq(i) et (ii), on obtient

P = x + (1/2 – x)3

En différenciant par rapport à x, on obtient

dP/dx = 1 + 3(1/2 – x)2 × (-1)

= 1 – 3 (1/4 – x + x2)

= 1/4 +3x -3×2

Pour le maximum et le minimum,

Mettez dP/dx = 0

1/4 + 3x – 3×2 = 0

1 + 12x – 12×2 = 0

12×2 – 12x – 1 = 0

??

x = 1/2 ± (8√3/24)

x = 1/2 ± (1/√3)

x = {1/2 – (1/√3)}, {1/2 + (1/√3)}

Maintenant,

d2P/dx2 = 3 – 6x

Donc, à x =1/2 – (1/√3), d2P/dx2 = 3(1 – 2(1/2 – 1/√3))

= 3(+2/√3) = 2√3 > 0

Par conséquent, x = 1/2 – 1/√3 est le point des minima locaux

De l’eq(i), on obtient

y = 1/2 – (1/2 – 1/√3) = 1/√3

Donc, les nombres sont (1/2 – 1/√3) et 1/√3

Question 4. Divisez 15 en deux parties de telle sorte que le carré de l’un multiplie par le cube de l’autre au minimum.

Solution:

Supposons que 15 soit divisé en deux parties, c’est-à-dire x et y

Donc, x + y = 15

Aussi, P = x2y3

A partir des eq(i) et (ii), on obtient

P = x2(15 – x)3

En différenciant par rapport à x, on obtient

dP/dx = 2x(15 – x)3 – 3×2(15 – x)2

= (15 – x)2[30x – 2×2 – 3×2]

= 5x(15 – x)2(6 – x)

Pour les maxima et minima,

Mettez dP/dx = 0

15(15 – x)2(6 – x) = 0

x = 0, 15, 6

Maintenant,

Donc, d2P/dx2 = 5(15 – x)2(6 – x) – 5x × 2(15 – x)(6 – x) – 5x(15 – x)2

A x = 0, d2P/dx2 = 1125 > 0

Donc, x = 0 est le point des minima locaux

A x = 15, d2P/dx2 = 0

Donc, x = 15 est un point d’inflexion.

A x = 6, d2P/dx2 = -2430 < 0

Donc, x = 6 est le point des maxima locaux

Ainsi, le 15 est divisé en deux parties qui sont 6 et 9.

Question 5. De tous les bidons cylindriques fermés (circulaire à droite), qui renferment un volume donné de 100 cm3 qui a la surface minimale ?

Solution:

Supposons que r soit le rayon du cylindre et h la hauteur du cylindre

Donc, le volume du cylindre est de 100 cm3

c’est-à-dire V = πr2h = 100

h = 100/πr2……(i)

Maintenant, nous trouvons que la surface du cylindre est

A = 2πr2 + 2πrh

= 2πr2 + 200/r

En différenciant par rapport à r, on obtient

dA/dr = 4πr – 200/r2,

d2A/dr2 = 4π + 400/r3

Pour les maxima et minima,

dA/dr = 0

4πr = 200/r2

r3 = 200/4π = 50/π

r = (50/π)1/3

Donc, quand r = (50/π)1/3, d2s/dr2 > 0

Par conséquent, à partir du test de la dérivée seconde, la surface est le minimum

lorsque le rayon du cylindre est (50/π)1/3 cm

Mettez maintenant la valeur de r dans eq(i), nous obtenons

h = 100 / (50/π)1/3 = (2×50)/(502/3π1-2/3) = 2(50/π)1/3

Question 6. Une poutre est supportée aux deux extrémités et est uniformément chargée. Le moment fléchissant M à une distance x d’une extrémité est donné par

(1) M = (WL/2)x – (w/2)x2

(ii) M = Lx/3 – (L/3) (x3/L2)

Trouvez le point auquel M est maximum dans chaque cas.

Solution:

(je) M = (WL/2)x – (w/2)x2

En différenciant par rapport à x, on obtient

dM/dx = WL/2 – Wx

Pour les maxima et minima,

Mettez dM/dx = 0

WL/2 – Wx = 0

x = L/2

Maintenant, d2M/dx2 = -W < 0

Donc, x = L/2 est le point des maxima locaux.

Par conséquent, M est maximum lorsque x = L/2

(ii) M = Lx/3 – (L/3)(x3/L2)

En différenciant par rapport à x, on obtient

dM/dx = L/3 – Lx2/L2

Pour les maxima et minima,

Mettez dM/dx = 0

L/3 – Lx2/L2 = 0

x = ± L/√3

Maintenant, d2M/dx2 = – 2xW/L2

Donc, à x = L/√3, ⇒ d2M/dx2 =-2W/√3L < 0 (pour la valeur max)

à x = -L/√3, ⇒ d2M/dx2 = 2W/√3L > 0 (pour la valeur min)

Par conséquent, M est maximum lorsque x = L/√3

Question 7. Un fil de longueur 28 m est à couper en deux morceaux. L’une des pièces doit être carrée et l’autre en cercle. Quelles devraient être les longueurs des deux pièces pour que l’aire combinée du cercle et du carré soit minimale ?

Solution:

Supposons que lm soit le morceau de longueur coupé dans le fil donné pour former un carré.

et l’autre morceau de fil qui est utilisé pour créer un cercle est de longueur (28-l) m.

Donc, le côté du carré = l/4

Considérons maintenant que le rayon du cercle est r.

Alors, 2πr = 28 – l ⇒ r = (1/2π)(28 – l)

Maintenant, nous trouvons l’aire combinée du carré et du cercle

A = l2/16 +[(1/2π)(28 – l)]2

= l2/16 + 1/4π (28 – l)2

En différenciant par rapport à l, on obtient

dA/dl = 2l/16 + (2/4π)(28 – l)(-1)

= l/8 – (1/2π)(28 – l)

d2A/dl2 = l/8 + (1/2π) > 0

Pour les maxima et minima,

Mettre dA/dl = 0

l/8 – (1/2π)(28 – l) = 0

{πl – 4(28 – l)}8π = 0

(π + 4)l – 112 = 0

l = 112/(π + 4)

Donc, à l = 112/(π + 4), d2A/dl2 > 0

Par conséquent, en utilisant le test de dérivée seconde, l’aire est le minimum lorsque l = 112/(π + 4)

Ainsi, la longueur des deux morceaux de fil est de 112/(π + 4) et 28π/(π + 4) cm.

Question 8. Un fil de 20 m de longueur doit être coupé en deux morceaux. L’une des pièces sera pliée en forme de carré et l’autre en forme de triangle équilatéral. Où couper le fil pour que la somme des aires du carré et du triangle soit minimale ?

Solution:

Selon la question

La longueur du fil est de 20 m

et le fil coupé en deux morceaux x et y. Ainsi, un fil de longueur x est utilisé pour faire un carré et

Le fil de longueur y est utilisé pour faire un triangle.

Maintenant.

x + y = 20 …..(i)

x = 4l et y = 3a

Donc, A = somme de l’aire du carré et du triangle

A = l2 + 3/4a2 ……(ii)

On a 4l + 3a =20

4l = 20 – 3a

l = (20 – 3a) / 4

De l’équation (i), nous avons,

A = (20 – 3a)2/4 + √3/4a2

En différenciant par rapport à a, on obtient

dA/da = 2{(20 – 3a)/4}(-3/4) + 2a × √3/4

Pour les maxima et minima,

Mettre dA/da = 0

2 {(20 – 3a)/4}(-3/4) + 2a × √3/4 = 0

-3(20 – 3a) + 4a√3 = 0

-60 + 9a + 4a√3 = 0

9a + 4a√3 = 60

a(9 + 4√3) = 60

a = 60/(9 + 4√3)

En différenciant à nouveau par rapport à a, nous obtenons

d2s/da2 = (9 + 4√3)/8 > 0

Ainsi, la somme des aires du carré et du triangle est minimale lorsque a = 60 / (9 + 4√3)

Donc l = (20 – 3a)/4

l =

l = (180 + 80√3 – 180)/{4(9 + 4√3)}

l = 20√3/(9 + 4√3)

Question 9. Étant donné la somme des périmètres d’un carré et d’un cercle montre que la somme de leurs aires est moindre lorsqu’un côté du carré est égal au diamètre du cercle.

Solution:

Supposons que le rayon du cercle est r

Nous avons,

2πr + 4a = k (k est constant)

a = (k – 2πr)/4

On trouve maintenant la somme des aires du cercle et du carré :

A = πr2 + a2 = πr2 + (k – 2πr)2/16

En différenciant par rapport à r, on obtient

dA/dr = 2πr + 2(k – 2πr)(-2π)/16

= 2πr- π(k – 2πr)/4

Pour les maxima et minima,

Mettez, dA/dr = 0

2πr = π(k – 2πr)/4

8r = k – 2πr

r = k / (8 + 2π)= k / 2(4 + )

Maintenant, d2A/dr2 = 2π + π2/2 > 0

Donc, à r = k / 2(4 + π), d2A/dr2 > 0

Par conséquent, la somme des aires minimales lorsque r = k / 2(4 + π)

Donc, un =

= 2r

Donc prouvé

Question 10. Trouvez la plus grande aire possible d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm de long.

Solution:

Supposons que PQR est un triangle rectangle,

Donc, l’hypoténuse h = PR = 5 cm.

Supposons maintenant que a et b soient les côtés restants du triangle.

Donc, a2 + b2 = 25 ……(i)

Maintenant, nous trouvons l’aire de PQR = 1/2 QR × PQ

A = 1/2 ab ……(ii)

A partir des eq(i) et (ii), on obtient

A = 1/2 x √ (25 – a2)

En différenciant par rapport à a, on obtient

dA/da =

=

=

Pour les maxima et minima,

Mettre dA/da = 0

??

a = 5/√2

Maintenant,

d2A/d2a =

A a = 5√2, d2s/d2 =

= – 5/2 < 0

Donc, x = 5/√2 est un maximum local ponctuel,

Ainsi, la plus grande aire possible du triangle

= 1/2 × (5/√2) × (5/√2) = 25/4 unités carrées

Question 11. Deux côtés d’un triangle ont les longueurs ‘a’ et ‘b’ et l’angle entre eux est . Quelle valeur de maximisera l’aire du triangle ? Trouvez également l’aire maximale du triangle.

Solution:

Supposons que ABC est un triangle tel que AB = a, BC = b et ∠ABC = θ

et AD perpendiculaire à BC.

BD = asinθ

Donc, l’aire de ABC = 1/2 × BC × AD

⇒ A = 1/2 × b × a × sinθ

En différenciant par rapport à , on obtient

dA/dθ = 1/2 × abcosθ

Pour les maxima et minima,

Mettez dA/dθ = 0

⇒ 1/2 × abcosθ = 0

cosθ = 0

θ = /2

Maintenant, d2A/dθ2 = -1/2 ab sinθ

A = π/2, d2A/dθ2 = -1/2ab < 0

Donc, θ = π/2, est le point des maxima locaux

Par conséquent, l’aire maximale du triangle ABC est 1/2 × absin(π/2) = 1/2 ab.

Question 12. Un carré de tôle de 18 cm de côté est à mettre en boîte sans couvercle en découpant un carré dans chaque coin et en repliant les rabats pour former une boîte. Quel doit être le côté du carré à découper pour que le volume de la boîte soit maximum ? Aussi, trouvez ce volume maximum.

Solution:

Supposons que x cm soit le côté du carré à découper.

Maintenant, la longueur et la largeur de la boîte seront (18 – 2x) cm chacune et

le x cm soit la hauteur de la boîte.

Ainsi, le volume de la boîte est

V(x) = x(18 – 2x)2

En différenciant par rapport à x, on obtient

V'(x) = (18 – 2x)2 – 4x(18-2x)

= (18 – 2x)[18 – 2x – 4x]

= (18 – 2x)(18 – 6x)

= 6 × 2(9 – x) (3 – x)

= 12(9 – x) (3 – x)

Encore une fois en différenciant par rapport à x, nous obtenons

V”(x) = 12 [-(9 – x) – (3 – x)]

= -12 (9 – x + 3 – x)

= -12 (12 –…