Classe 11 RD Sharma Solutions – Chapitre 3 Fonctions – Exercice 3.3

Question 1. Trouvez le domaine de chacune des fonctions à valeurs réelles suivantes de variable réelle :

(i) f (x) = 1/x

Solution:

On nous donne f (x) = 1/x.

Ici, f (x) est défini pour toutes les valeurs réelles de x, à l’exception du cas où x = 0.

Par conséquent, domaine de f = R – {0}

(ii) f (x) = 1/(x−7)

Solution:

On nous donne f (x) = 1/(x−7).

Ici, f (x) est défini pour toutes les valeurs réelles de x, sauf dans le cas où x – 7 = 0 ou x = 7.

Par conséquent, domaine de f = R – {7}

(iii) f (x) = (3x−2)/(x+1)

Solution:

On nous donne f (x) = (3x−2)/(x+1).

Ici, f(x) est défini pour toutes les valeurs réelles de x, sauf dans le cas où x + 1 = 0 ou x = –1.

Par conséquent, domaine de f = R – {–1}

(iv) f (x) = (2x+1)/(x2−9)

Solution:

On nous donne f (x) = (2x+1)/(x2−9).

Ici, f (x) est défini pour toutes les valeurs réelles de x, à l’exception du cas où x2 – 9 = 0.

=> x2 – 9 = 0

=> (x + 3)(x – 3) = 0

=> x + 3 = 0 ou x – 3 = 0

=> x = ± 3

Par conséquent, domaine de f = R – {–3, 3}

(v) f (x) = (x2+2x+1)/(x2–8x+12)

Solution:

On nous donne f (x) = (x2+2x+1)/(x2–8x+12).

Ici, f(x) est défini pour toutes les valeurs réelles de x, sauf dans le cas où x2 – 8x + 12 = 0.

=> x2 – 8x + 12 = 0

=> x2 – 2x – 6x + 12 = 0

=> x(x – 2) – 6(x – 2) = 0

=> (x – 2)(x – 6) = 0

=> x – 2 = 0 ou x – 6 = 0

=> x = 2 ou 6

Par conséquent, domaine de f = R – {2, 6}

Question 2. Trouvez le domaine de chacun des éléments suivants valeur réelle fonctions de une variable réelle :

(i) f (x) = (x–2)

Solution:

On nous donne f (x) = √(x–2).

Ici, f (x) ne prend des valeurs réelles que lorsque x – 2 0 car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.

=> x – 2 0

=> x 2

=> x [2, ∞)

Therefore, domain of f = [2, ∞)

(ii) f (x) = 1/(√(x2–1))

Solution:

We are given, f (x) = 1/(√(x2–1)).

Here, f (x) takes real values only when x2 – 1 > 0 as the square of a real number cannot be negative and the denominator x2 – 1 cannot be zero.

=> x2 – 1 > 0

=> (x + 1) (x – 1) > 0

=> x < –1 or x > 1

=> x ∈ (–∞, –1) ∪ (1, ∞)

Therefore, domain of f = (–∞, –1) ∪ (1, ∞)

(iii) f (x) = √(9–x2)

Solution:

We are given, f (x) = √(9–x2).

Here, f (x) takes real values only when 9 – x2 ≥ 0 as the square of a real number cannot be negative.

=> 9 – x2 ≥ 0

=> 9 ≥ x2

=> x2 ≤ 9

=> x2 – 9 ≤ 0

=> (x + 3)(x – 3) ≤ 0

=> x ≥ –3 and x ≤ 3

=> x ∈ [–3, 3]

Donc domaine de f = [–3, 3]

(iv) f (x) =[(x–2)/(3–x)]

Solution:

On nous donne, f (x) = √[(x–2)/(3–x)].

Ici, f (x) ne prend des valeurs réelles que lorsque x – 2 et 3 – x sont à la fois positifs et négatifs.

Cas 1. x – 2 0 et 3 – x ≥ 0

=> x 2 et x 3

Par conséquent, x [2, 3]

Cas 2. x – 2 0 et 3 – x ≤ 0.

=> x 2 et x 3

Ce cas n’est pas possible car l’intersection de ces ensembles est un ensemble nul.

Par conséquent, x [2, 3] – {3}

=> x [2, 3)

Therefore, domain of f = [2, 3)

Question 3. Find the domain and range of each of the following real valued functions:

(i) f (x) = (ax+b)/(bx–a)

Solution:

We are given, f (x) = (ax+b)/(bx–a).

Here, f(x) is defined for all real values of x, except for the case when bx – a = 0 or x = a/b.

So, domain of f = R – (a/b)

Let f (x) = y. So, (ax+b)/(bx–a) = y.

=> ax + b = y(bx – a)

=> ax + b = bxy – ay

=> ax – bxy = –ay – b

=> x(a – by) = –(ay + b)

=> x = – (ay+b)/(a–by)

When a – by = 0 or y = a/b. Hence, f(x) cannot take the value a/b.

Therefore, range of f = R – (a/b)

(ii) f (x) = (ax–b)/(cx–d)

Solution:

We are given, f (x) = (ax–b)/(cx–d).

Here, f(x) is defined for all real values of x, except for the case when cx – d = 0 or x = d/c. 

So, domain of f = R – (d/c)

Let f (x) = y. So, (ax–b)/(cx–d) = y

=> ax – b = y(cx – d)

=> ax – b = cxy – dy

=> ax – cxy = b – dy

=> x(a – cy) = b – dy

=> x = (b–dy)/(a–cy)

When a – cy = 0 or y = a/c. Hence, f(x) cannot take the value a/c.

Therefore, range of f = R – (a/c)

(iii) f (x) = √(x–1)

Solution:

We are given, f (x) = √(x–1). 

Here, f(x) takes real values only when x – 1 ≥ 0.

=> x ≥ 1

=> x ∈ [1, ∞)

So, domain of f = [1, ∞)

When x ≥ 1, we have x – 1 ≥ 0. So, √(x–1) ≥ 0. 

=> f (x) ≥ 0

=> f(x) ∈ [0, ∞)

Therefore, range of f = [0, ∞)

(iv) f (x) = √(x–3)

Solution:

We are given, f (x) = √(x–3).

Here, f (x) takes real values only when x – 3 ≥ 0.

=> x ≥ 3

=> x ∈ [3, ∞)

So, domain of f = [3, ∞)

When x ≥ 3, we have x – 3 ≥ 0. Hence, √(x–3) ≥ 0 

=> f (x) ≥ 0

=> f(x) ∈ [0, ∞)

Therefore, range of f = [0, ∞)

(v) f (x) = (x–2)/(2–x)

Solution:

We are given, f (x) = (x–2)/(2–x).

Here, f(x) is defined for all real values of x, except for the case when 2 – x = 0 or x = 2.

So, domain of f = R – {2}

And also, f (x) = –(2–x)/(2–x) = –1

Hence, when x ≠ 2, f(x) = –1

Therefore, range of f = {–1}

(vi) f (x) = |x–1|

Solution:

We are given, f (x) = |x–1|.

Clearly, f(x) is defined for all real numbers x.

So, domain of f = R

Let f (x) = y. So, |x–1| = y. 

Therefore, y can take only the positive values. So, y ≥ 0.

Therefore, range of f = (0, ∞]

(vii) f (x) = –|x|

Solution:

On nous donne f (x) = –|x|.

Clairement, f(x) est défini pour tous les nombres réels x.

Donc, domaine de f = R

Soit f (x) = y. Donc, y = –|x|.

Par conséquent, y ne peut prendre que les valeurs négatives. Donc, y 0.

Par conséquent, la plage de f = (–∞, 0]

(viii) f (x) = (9–x2)

Solution:

On nous donne, f (x) = √(9–x2)

Ici, f(x) ne prend des valeurs réelles que lorsque 9 – x2 0.

=> 9 x2

=> x2 9

=> x2 – 9 0

=> (x + 3)(x – 3) 0

=> x –3 et x ≤ 3

=> x [–3, 3]

Donc, domaine de f = [–3, 3]

Quand, x [–3, 3], nous avons 0 9 – x2 9.

=> 0 √(9–x2) ≤ 3

=> 0 f (x) ≤ 3

=> f (x) [0, 3]

Par conséquent, la plage de f = [0, 3]

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