Classe 11 RD Sharma Solutions – Chapitre 23 Les lignes droites – Exercice 23.15

Question 1. Trouvez la distance du point (4, 5) de la droite 3x – 5y + 7 = 0

Solution:

De la question, nous avons,

La ligne : 3x – 5y + 7 = 0

En comparant ax + by + c = 0 et 3x − 5y + 7 = 0,

a = 3, b = − 5 et c = 7

Ainsi, la distance du point (4, 5) à la droite 3x − 5y + 7 = 0 est

d = |(3 × 4 – 5 × 5 + 7)/√32 + (-52) |

Par conséquent, la distance (d) est 6/√34

Question 2. Trouvez la distance perpendiculaire de la droite joignant les points (cos θ, sin θ) et (cos ϕ, sin ϕ) à partir de l’origine.

Solution:

Selon la question

Les points sont : (cos θ, sin θ) et (cosϕ, sin ϕ).

L’équation de la droite joignant les points (cos θ, sin θ) et (cos ϕ, sin ϕ),

y – sin = (sinϕ – sin θ) / (cosϕ – cos θ) (x – cos θ)

(cosϕ – cos θ)y – sin θ(cosϕ – cos θ) = (sinϕ – sin θ)x – (sinϕ – sin θ)cos θ

Considérons D comme la distance perpendiculaire de l’origine à la ligne

(sinϕ – sin θ)x – (cosϕ – cos θ)y + sinθcosϕ – sinϕcos θ = 0

D = |( sin – ϕ)/ √ (sinϕ – sin θ)2 + (cosϕ – cos θ)2)|

= |(sin θ – ϕ) / sin2ϕ + sin2θ – 2sinϕsin θ + cos2ϕ + cos2θ – 2cos ϕcos θ|

= |1/√2 (sin (θ – ϕ)) / √1 – (cos (θ – ϕ))|

En les résolvant, nous obtenons,

D = cos (θ – ϕ/2)

Par conséquent, la distance est cos (θ – ϕ/2)

Question 3. Trouvez la longueur de la perpendiculaire de l’origine à la droite joignant les deux points dont les coordonnées sont (a cos α, a sin α) et (a cos β, a sin β).

Solution:

Selon la question

Les coordonnées sont (un cos , un sin α) et (un cos β, un sin β).

Ainsi, la droite d’équation passant par (un cos α, un sin α) et (un cos β, un sin β) est,

y – un péché α = ((un péché β – un péché α) / (un cos β – un cos α)) (x – un cos α)

y – un sin α = ((sin β – sin α)/(cos β – cos α))(x – un cos α)

y – un sin = – cot((α – β)/2)(x – un cos α)

xcot((α – β)/2) + y – un sin α – un cos α cot((α – β)/2) = 0

Ainsi, la distance de la ligne à l’origine est

D = |(- un sin – un cos α cot((α – β)/2)) / √cot2((α – β)/2) +1|

= a|sin((α – β)/2)sin α + cos αcos((α – β)/2)|

= a |cos(((α – β)/2) – α)|

D = acos((α- β)/2)

Par conséquent, la distance est acos((α- β)/2)

Question 4. Montrez que la perpendiculaire laissée tomber de n’importe quel point de la droite 2x + 11y – 5 = 0 sur les deux droites 24x + 7y = 20 et 4x – 3y – 2 = 0 sont égales l’une à l’autre.

Solution:

Selon la question

Les équations des droites sont

24x + 7y = 20

4x – 3y – 2 = 0

Considérons maintenant que Q(a, b) un point quelconque se trouve sur 2x + 11y − 5 = 0

Donc,

2a + 11b − 5 = 0

b = (5 – 2a)/11 ….. (1)

Soit D1 et D2 la distance perpendiculaire du point P sur la ligne 24x + 7y = 20 et 4x – 3y – 2 = 0,

Donc, D1 =| (24a + 7b – 20)/ √242 + 72|

D1 = |((24a + 7) × ((5 – 2a)/11) – 20)/25)|

À partir de 1),

D1 = | (50a – 37)/55 |

De la même manière,

D2 = | (4a – 3b – 2)/ √32 + (-4)2|

De (1) on obtient,

D2 = | (50a – 37)/55 |

D1 = D2

donc prouvé

Question 5. Trouvez la distance du point d’intersection des droites 2x + 3y = 21 et 3x – 4y + 11 = 0 à partir de la droite 8x + 6y + 5 = 0.

Solution:

Selon la question

Les équations des droites sont

2x + 3y = 21 ……….. (1)

3x – 4y + 11 = 0 ………… (2)

En résolvant les eq(1) et (2) on obtient :-

x/(33 – 84) = y/(-63 – 22) = 1/(-8 – 9)

x = 3,

y = 5

Par conséquent, le point est (3, 5).

Maintenant, nous trouvons la distance perpendiculaire D de la ligne 8x + 6 ans + 5 = 0 du point (3, 5) est :

d = |(24 + 30 + 5)/√82 + 62| = 59/10 = 5,9

Par conséquent, la distance est de 5,9

Question 6. Trouvez la longueur de la perpendiculaire du point (4, -7) à la droite joignant l’origine et le point d’intersection de la droite 2x – 3y + 14 et 5x + 4y – 7 = 0.

Solution:

Selon la question

Les équations des droites sont

2x – 3y + 14 = 0

5x + 4y – 7 = 0

En résolvant à la fois l’équation, nous obtenons

x = -35/23

y = 252/69

Donc, le point est (-35/23, 252/69)

et l’équation de la ligne joignant l’origine et le point est y = mx,

où m = (252/69) / (-35/23) = -12/5

Donc, l’équation de la ligne requise est y = -12x/5

12x + 5y = 0

Maintenant, la distance perpendiculaire de (4, -7) à 12x + 5y = 0 est

D = |(12(4) + 5(-7)) / 122 + (-5)2 |

J = 13/13

D = 1

La distance est donc de 1

Question 7. Quels sont les points sur l’axe des x dont la distance perpendiculaire à la droite x/a + y/b = 1 est a ?

Solution:

Considérons qu’un point sur l’axe des x est (a, 0)

Ainsi, la distance perpendiculaire à une ligne bx + ay = ab est,

a = |(ax1 + by1 + c)√a2 + b2|

Où,

a = b, b = a, x = -ab, x1 = ±a, y1 = 0

a = |(b(x) + a(0) – ab)/√a2 + b2|

a = 0

ou

a = (b(x) + a(0) – ab)/√a2 + b2

a = (b/a)x = ±√a2 + b2

x = 0

Question 8. Montrez que le produit des perpendiculaires sur la droite (x/a)cos θ + (y/b)sin θ – 1 à partir des points (±√a2 – b2, 0) est b2.

Solution:

Selon la question

Nous devons prouver que la distance perpendiculaire de (±√a2 – b2, 0) à (x/a)cos θ + (y/b)sin – 1 est b2

Donc, D1 est la distance perpendiculaire de (√a2 – b2, 0) à (x/a)cos θ + (y/b)sin – 1 est

D1 = | ((√a2 – b2/a)cos θ + (0x/b)sin – 1) / (cos2 θ/a2) + (sin2 θ/b2) |

= ((√a2 – b2/a)cos θ – 1) / (cos2 θ/a2) + (sin2 θ/b2) ….(1)

De plus, D2 est la distance perpendiculaire de (-√a2 – b2, 0) à (x/a)cos θ + (y/b)sin – 1 est

D2 = |((-√a2 – b2/a)cos θ + (0x/b)sin θ – 1) / (cos2 θ/a2) + (sin2 θ/b2) | ……(2)

Ainsi, à partir de (1) et (2) nous obtenons

((√a2-b2/a2)cos2 -1) / (cos2 θ/a2)+(sin2 θ/b2) = b2

donc prouvé

Question 9. Trouvez la distance perpendiculaire à l’origine de la perpendiculaire du point (1, 2) sur la droite x – √3y + 4 = 0.

Solution:

Selon la question

On est donné que la perpendiculaire de (1, 2) sur la droite x – √3y = -4

Ainsi, l’équation est

y – y1 = m'(x – x1)

1 x1 = 1, y₁ = 2, m = 1/√3, m’ = -√3

y – 2 = -√3 (x – 1)

y + √3x – (2 + √3) = 0…… (1)

Il est donné que la distance perpendiculaire de (0, 0) à eq(1) est

D = |(ax1 + by1 + c)| / a2 + b2

a = 3, b = 1, c = -(2 + √3)

x1 = 0, y1 = 0

D = |√3 (0) + 1 (0) + (−2 − √3) | / (√3)2 + 12

Par conséquent, la distance est (2 + √3)/2

Question 10. Trouvez la distance du point (1, 2) de la droite de pente 5 et passant par le point d’intersection de x + 2y = 5 et x – 3y = 7.

Solution:

Selon la question

Les équations des droites sont

x + 2y = 5

x – 3y = 7

En résolvant les deux équations, nous obtenons un point A(29/5, -2/5)

Ainsi, l’équation de la droite passant par le point A(29/5, -2/5) qui a une pente 5 est

y + (2/5) = 5(x – 29/5)

5 ans + 2 = 25x – 145

25x – 5y – 147 = 0

Donc, D est la distance de (1, 2) de 25x – 5y – 147 = 0 est

D = | (25(1) – 5(2) – 147) / √252 + 52 |

|-132 √650|

Par conséquent, la distance est |132 √650|

Question 11. Quels sont les points sur l’axe des y dont la distance à la ligne est x/3 + y/4 = 1 est de 4 unités ?

Solution:

Supposons que le point sur l’axe des y est (0, a)

Il est donné que la distance de (0, a) de la ligne 4x + 3y – 12 = 0 est de 4 unités.

Ainsi, en utilisant la formule de distance, nous obtenons

d = |(ax₁ + par + c)/√a2 + b2 |

4 = |(4(0) + 3(a) – 12)/√42 + 32 |

4 =|(3а – 12)/5|

4 = (-3a + 12)/5

-3a = 20 – 12

a = -8/3

Et 4 =(3a – 12)/5

3a = 20 + 12

a = 32/3

Par conséquent, les points sont (0, 32/3), (0, -8/3)

Question 12. Dans le triangle ABC de sommets A(2, 3), B(4, -1) et C(1, 2). Trouvez l’équation et la longueur de l’altitude à partir du sommet A.

Solution:

Selon la question

ABC est un triangle dont les sommets sont A(2, 3), B(4, -1) et C(1, 2)

Ainsi, l’équation de BC est

y + 1 = ((2 + 1/()1 – 4))(x – 4)

y + 1 = -x + 4

x + y – 3 = 0

et AL = |(2 + 3 – 3)/√1 + 1 |

AL = √2

Ici, nous concluons que la pente de la ligne BC -1. Ainsi, la pente de AL est 1.

Et il passe par A(2, 3) donc, son équation est

y – 3 = 1(x – 2)

x – y + 1 = 0

Question 13. Montrez que la trajectoire d’un point mobile tel que ses distances à deux droites 3x – 2y = 5 et 3x + 2y = 5 soient égales est une droite.

Solution:

Selon la question

Les équations des droites sont

3x – 2y = 5

3x + 2y = 5

Supposons que le point P(h, k) soit le point mobile et équidistant des deux droites

Donc,

|(3h – 2k – 5)/√9 + 4| = |(3h + 2k – 5)/√9 + 4|

|3h – 2k – 5| = |3h + 2k – 5|

4k = 0 ou 6h – 10 = 0

k = 0

3h = 5

Ainsi, le lieu de (h, k) est :

y = 0

ou

3x = 5, qui sont des lignes droites.

Question 14. Si la somme des distances perpendiculaires d’un point variable P(x, y) aux droites x + y – 5 = 0 et 3x – 2y = 0 est toujours 10. Montrer que P doit se déplacer sur une droite.

Solution:

Selon la question

La somme des distances perpendiculaires d’un point variable P(x, y)

à partir des lignes (x + y – 5) = 0 et 3x – 2y + 7 = 0 est toujours 10

Donc,

((x + y – 5)/√2) + ((3x – 2y+7) +√13) = 10

(3√2 + √13)x + (√13 – 2√2) + (7√2 – 5√13 – 10√26) = 0

Donc, à partir de là, nous concluons qu’il s’agit d’une ligne droite.

Question 15. Si la longueur de la perpendiculaire forme le point (1, 1) à la droite axe – par + c à l’unité. Montrer que 1/c + 1/a – 1/b = c/2ab.

Solution:

Étant donné que, la longueur de la perpendiculaire du point (1, 1) à l’axe – par + c est 1

Il faut donc prouver que 1/c + 1/a – 1/b = c/2ab

En utilisant la formule de distance, on obtient

|(a (1) – b (1) + c)/√a2 + b2 | = 1

a – b + c = a2 + b2

(a – b + c)2 = a2 + b2

a2 + b2 + c2 + 2ac – 2bc – 2ab = a2 + b2

c2 + 2ac – 2bc = 2ab

c + 2a – 2b = 2ab/c

(c/2ab) + (2a/2ab) – (2b/2ab) = 1/c

(c/2ab) = 1/c + 1/a – 1/b

donc prouvé

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