Classe 11 RD Sharma Solutions – Chapitre 13 Nombres complexes – Exercice 13.2 | Ensemble 2 - Geek Technique : Magazine & Guide des geek leader, Gadgets, Smartphones, Ordinateurs & plus encore

Question 14. Si $gauche(frac{1-i}{1+i}droite)^{100}=a+ib$ , trouvez (a, b).

Solution:

Nous avons,

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=> $gauche(frac{1-i}{1+i}droite)^{100}=a+ib$

=> $la gauche[frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}right]^{100}=a+ib$

=> $gauche(frac{1+i^2-2i}{1-i^2}droite)^{100}=a+ib$

=> $left(frac{-2i}{2}right)^{100}=a+ib$

=> (−i)100 = a + ib

=> a + ib = 1

En comparant les parties réelles et imaginaires des deux côtés, nous obtenons,

=> (a, b) = (1, 0)

Question 15. Si a = cos θ + i sin θ, trouvez la valeur de $frac{1+a}{1-a}$ .

Solution:

Étant donné a = cos θ + i sin θ, on obtient,

$frac{1+a}{1-a}$ = $frac{1+cosθ+isinθ}{1-cosθ-isinθ}$

= $frac{(1+cosθ+isinθ)(1-cosθ+isinθ)}{(1-cosθ-isinθ)(1-cosθ+isinθ)}$

= $frac{(1+isinθ)^2-cos^2θ}{(1-cosθ)^2-i^2sin^2θ}$

= $frac{1+i^2sin^2θ+2isinθ-cos^2θ}{1+cos^2θ-2cosθ-i^2sin^2θ}$

= $frac{1+2isinθ-sin^2θ-cos^2θ}{1-2cosθ+cos^2θ+sin^2θ}$

= $frac{1+2isinθ-1}{1-2cosθ+1}$

= $frac{2isinθ}{2-2cosθ}$

= $frac{isinθ}{1-cosθ}$

= $frac{2isinfrac{θ}{2}cosfrac{θ}{2}}{2sin^2frac{θ}{2}}$

= $icotfrac{θ}{2}$

Par conséquent, la valeur de $frac{1+a}{1-a}$ est $icotfrac{θ}{2}$ .

Question 16. Évaluez les éléments suivants :

(i) 2×3 + 2×2 − 7x + 72, quand x = (3−5i)/2

Solution:

On a, x = (3−5i)/2

=> 2x = 3 − 5i

=> 2x − 3 = −5i

=> (2x − 3)2 = 25i2

=> 4×2 + 9 − 12x = −25

=> 4×2 − 12x + 34 = 0

=> 2×2 − 6x + 17 = 0

Maintenant, 2×3 + 2×2 − 7x + 72 = x (2×2 − 6x + 17) + 6×2 − 17x + 2×2 − 7x + 72

= x (0) + 8×2 − 24x + 72

= 4 (2×2 − 6x + 17) + 4

= 4 (0) + 4

= 4

Par conséquent, la valeur de 2×3 + 2×2 − 7x + 72 est 4.

(ii) x4 − 4×3 + 4×2 +8x +44, lorsque x = 3 + 2i

Solution:

Nous avons, x = 3 + 2i

=> x − 3 = 2i

=> (x − 3)2 = (2i)2

=> x2 + 9 − 6x = 4i2

=> x2 − 6x + 9 + 4 = 0

=> x2 − 6x + 13 = 0

Maintenant, x4 − 4×3 + 4×2 + 8x + 44 = x2 (x2 − 6x + 13) + 6×3 − 13×2 − 4×3 + 4×2 + 8x + 44

= 2×3 − 9×2 + 8x + 44

= 2x (x2 − 6x + 13) + 12×2 − 26x − 9×2 + 8x + 44

= 3×2 − 18x + 44

= 3 (x2 − 6x + 13) + 5

= 5

Par conséquent, la valeur de x4 − 4×3 + 4×2 + 8x + 44 est 5.

(iii) x4 + 4×3 + 6×2 + 4x + 9, lorsque x = −1 + i√2

Solution:

On a, x = −1 + i√2

=> x + 1 = i√2

=> (x + 1)2 = 2i2

=> x2 + 1 + 2x = -2

=> x2 + 2x + 3 = 0

Maintenant, x4 + 4×3 + 6×2 + 4x + 9 = x2 (x2 + 2x + 3) − 2×3 − 3×2 + 4×3 + 6×2 + 4x + 9

= 2×3 + 3×2 + 4x + 9

= 2x (x2 + 2x + 3) − 4×2 − 6x + 3×2 + 4x + 9

= − x2 − 2x + 9

= − (x2 + 2x + 3) + 3 + 9

= 3 + 9

= 12

Par conséquent, la valeur de x4 + 4×3 + 6×2 + 4x + 9 est 12.

(iv) x6 + x4 + x2 + 1, lorsque x = (1+i)/√2

Solution:

On a, x = (1+i)/√2

=> 2x = 1 + i

=> 2×2 = 1 + i2 + 2i

=> 2×2 = 2i

=> 4×4 = 4i2

=> x4 = -1

=> x4 + 1 = 0

Maintenant, x6 + x4 + x2 + 1 = (x6 + x2) + (x4 +1)

= x6 + x2

= x2 (x4 + 1)

= 0

Par conséquent, la valeur de x6 + x4 + x2 + 1 est 0.

(v) 2×4 + 5×3 + 7×2 − x + 41, quand x = −2 − √3i

Solution:

On a, x = −2 − √3i

x2 = (−2 − √3i)2 = 4 + 4√3i + 3i2 = 1 + 4√3i

x3 = (1 + 4√3i) (−2 − √3i) = −2 − √3i − 8√3i −12i2 = 10 − 9√3i

x4 = (1 + 4√3i)2 = 1 + 8√3i + 48i2 = −47 + 8√3i

Maintenant, 2×4 + 5×3 + 7×2 − x + 41 devient,

= 2(−47 + 8√3i) + 5(10 − 9√3i) + 7(1 + 4√3i) − (−2 − √3i) + 41

= −94 + 16√3i + 50 − 45√3i + 7 + 28√3i + 2 + √3i + 41

= 6

Par conséquent, la valeur de 2×4 + 5×3 + 7×2 − x + 41 est 6.

Question 17. Pour un entier positif n, trouvez la valeur de (1−i)n (1−1/i)n.

Solution:

Nous avons,

(1−i)n (1−1/i)n = (1−i)n $(frac{i-1}{i})^n$

= $la gauche[frac{(1-i)^2}{-i}right]^n$

= $gauche(frac{1+i^2-2i}{-i}droit)^n$

= $gauche(frac{-2i}{-i}droit)^n$

= 2n

Par conséquent, la valeur de (1−i)n (1−1/i)n est 2n.

Question 18. Si (1+i)z = (1−i) $bar{z}$ , alors montrer que z = −i $bar{z}$ .

Solution:

Nous avons,

=> (1+i)z = (1−i) $bar{z}$

=> z = $(frac{1-i}{1+i})bar{z}$

=> z = $la gauche[frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}right]bar{z}$

=> z = $la gauche[frac{1+i^2-2i}{1-i^2}right]bar{z}$

=> z = $la gauche[frac{-2i}{2}right]bar{z}$

=> z = −i $bar{z}$

Donc prouvé.

Question 19. Résoudre le système d’équations : Re(z2) = 0, |z| = 2.

Solution:

Soit z = x + iy.

Maintenant z2 = (x + iy)2

= x2 + i2y2 + 2xyi

= x2 − y2 + 2xyi

Nous avons, Re(z2) = 0

=> x2 − y2 = 0 . . . . (1)

De plus, il est donné, |z| = 2.

=> $sqrt{x^2+y^2}$ = 2

=> x2 + y2 = 4 . . . . (2)

En résolvant (1) et (2), nous obtenons, x = ±√2 et y = ±√2.

Par conséquent, x + iy = ±√2 ± √2i .

Question 20. Si $frac{z-1}{z+1}$ est un nombre purement imaginaire (z≠−1), trouvez la valeur de |z|.

Solution:

Soit z = x + iy

Nous avons, $frac{z-1}{z+1}$

= $frac{x-1+iy}{x+1+iy}$

= $frac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)}$

= $frac{x^2+x-ixy-x-1+iy+ixy+iy+y^2}{(x+1)^2-(iy)^2}$

= $frac{x^2+y^2-1+2iy}{x^2+y^2+1+2xy}$

= $frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1+2xy}+frac{2yi}{x^2+y^2+1+2xy}$

Comme le nombre complexe est purement imaginaire, donc,

=> Re(z) = 0

=> $frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1+2xy}$ = 0

=> x2 + y2 = 1

=> $sqrt{x^2+y^2}$ = 1

=> |z| = 1

Par conséquent, la valeur de |z| est 1.

Question 21. Si z1 est un nombre complexe autre que −1 tel que |z1| = 1 et z2 = $frac{z_1-1}{z_1+1}$ , alors montrer que les parties réelles de z2 sont nulles.

Solution:

Étant donné |z| = 1

=> |z|2 = 1

=> x2 + y2 = 1 . . . . (1)

Soit z1 = x + iy et z2 = a + ib.

D’après la question, nous avons,

=> z2 = $frac{z_1-1}{z_1+1}$

=> a + ib = $frac{x+iy-1}{x+iy+1}$

=> a + ib = $frac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)}$

=> a + ib = $frac{x^2-1+y^2-iyx+iy+iyx+iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

=> a + ib = $frac{(x^2+y^2)-1+2iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

En utilisant (1) nous obtenons,

=> a + ib = $frac{1-1+2iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

=> a + ib = $frac{2iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

En comparant les parties réelle et imaginaire des deux côtés, nous obtenons a = 0.

Par conséquent, la partie réelle de z2 est 0. Donc prouvé.

Question 22. Si |z+1| = z + 2(1+i), trouvez z.

Solution:

Soit z = x + iy. D’après la question, nous avons,

=> |x + iy + 1| = x + iy + 2(1 + i)

=> $sqrt{(x+1)^2+y^2}$ = (x + 2) + i(y + 2)

En comparant les parties réelle et imaginaire, on obtient

=> y + 2 = 0

=> y = -2

Et aussi,

=> x + 2 = $sqrt{(x+1)^2+y^2}$

=> (x + 2)2 = (x+1)2 + y2

=> x2 + 4 + 4x = x2 + 2x + 1+ y2

=> 2x = y2 − 3

=> 2x = 4 − 3

=> 2x = 1

=> x = 1/2

Par conséquent, z = x + iy = 1/2 −2i.

Question 23. Résoudre l’équation : |z| = z + 1 + 2i.

Solution:

Soit z = x + iy. D’après la question, nous avons,

=> |z| = z + 1 + 2i

=> |x + iy| = x + iy + 1 + 2i

=> $sqrt{x^2+y^2}$ = (x + 1) + (y + 2)i

=> x2 + y2 = (x+1)2 + (y+2)2i2 + 2 (x+1) (y+2)i

=> x2 + y2 = x2+1 + 2x − y2 − 1 + 2y + 2 (x+1) (y+2)i

=> 2y2 − 2x + 4y + 4 = 2i (x+1) (y+2)

=> y2 − x + 2y + 2 = i (x+1) (y+2)

En comparant les deux côtés, on obtient,

=> (x+1) (y+2) = 0

=> x = -1 et y = -2

Aussi, y2 − x + 2y + 2 = 0

En prenant x = −1, on obtient y2 − (−1) + 2y + 2 = 0

=> y2 + 2y + 3 = 0, qui n’a pas de solution car les racines sont imaginaires.

En prenant y = −2, (4 − x −4 + 2) = 0

=> x = 2

Par conséquent, z = x + iy = 2 − 2i.

Question 24. Quel est le plus petit entier positif n pour lequel (1+i)2n = (1−i)2n ?

Solution:

on nous donne,

=> (1+i)2n = (1−i)2n

=> $gauche(frac{1+i}{1-i}droite)^{2n}$ = 1

=> $la gauche[frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}right]^{2n}$ = 1

=> $la gauche[frac{1+i^2+2i}{1-i^2}right]^{2n}$ = 1

=> $la gauche[frac{2i}{2}right]^{2n}$ = 1

=> i2n = 1

=> i2n = i4

=> 2n = 4

=> n = 2

Par conséquent, le plus petit entier positif n pour lequel (1+i)2n = (1−i)2n est 2.

Question 25. Si z1, z2, z3 sont des nombres complexes tels que |z1| = |z2| = |z3| = $|frac{1}{z_1}+frac{1}{z_2}+frac{1}{z_3}|$ = 1, puis trouvez la valeur de |z1 + z2 + z3|.

Solution:

on nous donne,

|z1| = |z2| = |z3| = $|frac{1}{z_1}+frac{1}{z_2}+frac{1}{z_3}|$ = 1

Maintenant, |z1 + z2 + z3| = $|frac{z_1bar{z_1}}{bar{z_1}}+frac{z_2bar{z_2}}{bar{z_2}}+frac{z_3bar{z_3}}{bar {z_3}}|$

= $|frac{|z_1|^2}{bar{z_1}}+frac{|z_2|^2}{bar{z_2}}+frac{|z_3|^2}{bar{z_3} }|$

= $|frac{1}{z_1}+frac{1}{z_2}+frac{1}{z_3}|$

= 1

Par conséquent, la valeur de |z1 + z2 + z3| est 1.

Question 26. Trouvez le nombre de solutions de z2 + |z|2 = 0.

Solution:

Soit z = x + iy. Nous avons,

=> z2 + |z|2 = 0

=> (x + iy)2 + |x + iy|2 = 0

=> x2 + i2y2 + 2xyi + x2 + y2 = 0

=> x2 − y2 + 2xyi + x2 + y2 = 0

=> 2×2 + 2xyi = 0

En comparant les parties réelle et imaginaire des deux côtés, nous obtenons

=> 2×2 = 0 et 2xy = 0

=> x = 0 et y R

Par conséquent, z = 0 + iy, où y R.

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Question 14. Si, trouvez (a, b).

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(i) 2×3 + 2×2 − 7x + 72, quand x = (3−5i)/2

(ii) x4 − 4×3 + 4×2 +8x +44, lorsque x = 3 + 2i

(iii) x4 + 4×3 + 6×2 + 4x + 9, lorsque x = −1 + i√2

(iv) x6 + x4 + x2 + 1, lorsque x = (1+i)/√2

(v) 2×4 + 5×3 + 7×2 − x + 41, quand x = −2 − √3i

Question 17. Pour un entier positif n, trouvez la valeur de (1−i)n (1−1/i)n.

Question 18. Si (1+i)z = (1−i), alors montrer que z = −i.

Question 19. Résoudre le système d’équations : Re(z2) = 0, |z| = 2.

Question 20. Siest un nombre purement imaginaire (z≠−1), trouvez la valeur de |z|.

Question 21. Si z1 est un nombre complexe autre que −1 tel que |z1| = 1 et z2 =, alors montrer que les parties réelles de z2 sont nulles.

Question 22. Si |z+1| = z + 2(1+i), trouvez z.

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Question 25. Si z1, z2, z3 sont des nombres complexes tels que |z1| = |z2| = |z3| == 1, puis trouvez la valeur de |z1 + z2 + z3|.

Question 26. Trouvez le nombre de solutions de z2 + |z|2 = 0.

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