Classe 10 RD Sharma Solutions – Chapitre 3 Paire d’équations linéaires à deux variables – Exercice 3.10

Question 1. Les points A et B sont à 70 km. à part sur une autoroute. Une voiture part de A et une autre voiture part de B simultanément. S’ils voyagent dans le même sens, ils se rencontrent dans 7h, mais s’ils voyagent l’un vers l’autre, ils se rencontrent dans une heure. Trouvez la vitesse de deux voitures.

Solution:

Supposons que la voiture partant du point A comme X et sa vitesse comme x km/h.

et, la voiture partant du point B comme Y et sa vitesse comme y km/h.

Il y a deux cas donnés dans la question :

Cas 1 : Les voitures X et Y se déplacent dans la même direction.

Cas 2 : Les voitures X et Y se déplacent en sens inverse.

Supposons que le point de rencontre dans le cas 1 comme P et dans le cas 2 comme Q.

Cas 1 : La distance parcourue en voiture X = AP et,

la distance parcourue en voiture Y = BP

Comme le temps nécessaire pour que les deux voitures se rencontrent est de 7 heures,

La distance parcourue en voiture X en 7 heures = 7x km (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

donc PA = 7x

De la même manière,

La distance parcourue en voiture Y en 7 heures = 7y km

donc BP = 7A

Comme les voitures se déplacent dans la même direction (c’est-à-dire en s’éloignant les unes des autres), nous pouvons l’écrire sous la forme

PA – PA = AB

par conséquent, 7x – 7y = 70

x – y = 10 ——————(i)

Cas 2 : Dans ce cas comme on le voit clairement,

La distance parcourue en voiture X = AQ et,

La distance parcourue en voiture Y = BQ

Comme le temps mis par les deux voitures pour se rencontrer est d’une heure,

La distance parcourue en voiture x en 1 heure = 1x km

donc AQ = 1x

De la même manière,

La distance parcourue en voiture y en 1 heure = 1y km

donc BQ = 1y

Maintenant, puisque les voitures se déplacent dans la direction opposée (c’est-à-dire l’une vers l’autre), nous pouvons écrire

AQ + BQ = AB

Donc x + y = 70 —————–(ii)

Par conséquent, en résolvant l’éq. (i) et (ii), on obtient la solution recherchée

De (i), nous avons x = 10 + y ——————-(iii)

En substituant cette valeur de x dans (ii) et nous obtenons,

(10 + y) + y = 70

y = 30

Maintenant, mettez y = 30 dans (iii), et nous obtenons

x = 40

Par conséquent, la vitesse de la voiture X = 40 km/h et la vitesse de la voiture Y = 30 km/h.

Question 2. Un marin descend 8 km en aval en 40 minutes et revient en 1 heure. Déterminer la vitesse du marin en eau calme et la vitesse du courant.

Solution:

Supposons que la vitesse du marin en eau calme soit x km/h et,

La vitesse du courant en y km/h

Comme nous le savons,

Vitesse du marin en amont = (x – y) km/h

Vitesse du marin en aval = (x + y) km/h

donc, temps mis pour parcourir 8 km en amont = 8/ (x – y) h (Comme nous savons que distance = vitesse x temps)

Et, temps mis pour parcourir 8 km en aval = 8/ (x + y h

C’est compte tenu du temps qu’il faut pour parcourir 8 km en aval en 40 minutes soit 40/60 heures ou 2/3 heures.

8/ (x + y) = 2/3

8 × 3 = 2(x + y)

24 = 2x + 2y

x + y = 12 ——————(i)

De même, le temps mis pour parcourir 8 km en amont en 1 heure peut s’écrire comme,

8/ (x – y) = 1

8 = 1(x – y)

x – y = 8 ———————(ii)

Par conséquent, en résolvant l’éq. (i) et (ii) on obtient la solution requise

En ajoutant (i) et (ii) on obtient,

2x = 20

x = 10

Maintenant, en mettant la valeur de x dans (i), on trouve y

10 + y = 12

y = 2

Ainsi, la vitesse du marin est de 10 km/h et la vitesse du courant est de 2 km/h.

Question 3. Le bateau parcourt 30 km en amont et 44 km en aval en 10 heures. En 13 heures, il peut parcourir 40 km en amont et 55 km en aval. Déterminer la vitesse de les cours d’eau et celui du bateau en eau calme.

Solution:

Supposons que la vitesse du bateau en eau calme soit x km/h et,

La vitesse du ruisseau en y km/h

Comme nous le savons,

Vitesse du bateau en amont = (x – y) km/h et

Vitesse du bateau en aval = (x + y) km/h

donc,

Temps mis pour parcourir 30 km en amont = 30/ (x − y) h (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

Temps nécessaire pour parcourir 44 km en aval = 44/ (x + y) h (Comme nous savons que distance = vitesse x temps)

Il est donné que la durée totale du trajet est de 10 heures. Donc, cela peut s’exprimer comme

30/ (x – y) + 44/ (x + y) = 10 —————-(i)

De la même manière,

Temps mis pour parcourir 40 km en amont = 40/ (x – y) h (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

Temps nécessaire pour parcourir 55 km en aval = 55/ (x + y) h (Comme nous savons que distance = vitesse x temps)

Et pour ce cas, le temps total du trajet est donné comme 13 heures.

On peut donc écrire

40/(x – y) + 55/ (x + y) = 13 —————-(ii)

Par conséquent, en résolvant (i) et (ii) nous obtenons la solution requise

En prenant, 1/ (x – y) = u et 1/ (x + y) = v dans les équations (i) et (ii) nous avons

30u + 44v – 10 = 0 —————–(iii)

40u + 55v – 13 = 0 ——————-(iv)

En résolvant ces équations par multiplication croisée, nous obtenons,

u/(44x-13-55x-10) = -v/(30x-13-40x-10) = 1/(30×55 – 40×44)

u = 2/10

v = 1/11

Maintenant,

1/ (x – y) = 2/10

1 x 10 = 2(x – y)

10 = 2x – 2y

x – y = 5 —————–(v)

Et,

1/ (x + y) = 1/11

x + y = 11 —————(vi)

Encore une fois, en résolvant (v) et (vi)

En ajoutant (v) et (vi), on obtient

2x = 16

x = 8

En utilisant x dans (v), on trouve y

8 – y = 5

y = 3

Ainsi, la vitesse du bateau en eau calme est de 8 km/h et la vitesse du courant est de 3 km/h.

Question 4. Un bateau va 24km en amont et 28km en aval en 6h. Il parcourt 30 km en amont et 21 km en aval en 6,5 heures. Trouvez la vitesse du bateau en eau calme et aussi la vitesse du cours d’eau.

Solution:

Supposons que la vitesse du bateau en eau calme soit x km/h et,

La vitesse du ruisseau en y km/h

Comme nous le savons,

Vitesse du bateau en amont = (x – y) km/h et

Vitesse du bateau en aval = (x + y) km/h

par conséquent, le temps nécessaire pour parcourir 28 km en aval = 28/ (x+y) h (Comme nous savons que distance = vitesse x temps)

Temps mis pour parcourir 24 km en amont =24/ (x – y) h (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

Il est donné que la durée totale du trajet est de 6 heures. Ainsi, cela peut être exprimé comme

24/ (x – y) + 28/ (x + y) = 6 —————-(i)

De la même manière,

Temps mis pour parcourir 30 km en amont = 30/ (x − y) (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

Temps mis pour parcourir 21km en aval =21/ (x + y) (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

Et pour ce cas le temps total du trajet est donné comme 6,5 soit 13/2 heures.

Par conséquent, nous pouvons l’écrire comme

30/ (x – y) + 21/ (x + y) = 13/2 —————-(ii)

Par conséquent, en résolvant (i) et (ii) nous obtenons la solution requise

Prenant, 1/ (x – y) = u et 1/ (x + y) = v dans les équations (i) et (ii) et nous avons,

24u + 28v – 6 = 0 ————–(iii)

30u + 21v – 13/2 = 0 ————–(iv)

En résolvant ces équations par multiplication croisée, nous obtenons,

u/(28x-6,5-21x-6) = -v/(24x-6,5-30x-6) = 1/(24×21 – 30×28)

u = 1/6 et v = 1/14

Maintenant,

u = 1/ (x − y) = 1/ 6

x – y = 6 …. (v)

v = 1/ (x + y) = 1/ 14

x + y = 14 —————(vi)

Sur la résolution (v) et (vi)

En ajoutant (v) et (vi), on obtient

2x = 20

x = 10

En utilisant x = 10 dans (v), on trouve y

10 + y = 14

y = 4

Par conséquent, la vitesse du ruisseau = 4 km/h et la vitesse du bateau = 10 km/h.

Question 5. Un homme parcourt une certaine distance à une certaine vitesse. S’il marche 1/2 km à l’heure plus vite, il met 1 heure de moins. Mais, s’il marche 1 km à l’heure plus lentement, il met 3 heures de plus. Trouvez la distance parcourue par l’homme et sa vitesse de marche initiale.

Solution:

Supposons que la vitesse réelle de l’homme soit x km/h et y soit le temps réel pris par lui en heures.

Comme nous le savons,

Distance parcourue = vitesse × distance

Distance = x × y = xy —————-(i)

Cas I :

Si la vitesse de l’homme augmente de 1/2 km/h, le temps de trajet diminuera d’1 heure.

on peut l’écrire sous forme d’équation,

Lorsque la vitesse est de (x + 1/2) km/h, temps de trajet = y – 1 heures

Maintenant,

Distance parcourue = (x + 1/2) x (y – 1) km

Puisque la distance est la même, c’est-à-dire xy, nous pouvons l’assimiler, donc

xy = (x + 1/2) x (y – 1)

Et enfin nous obtenons,

-2x + y – 1 = 0 ——————–(ii)

Cas II : Si la vitesse diminue de 1 km/h alors le temps de trajet augmente de 3 heures.

Lorsque la vitesse est de (x-1) km/h, le temps de trajet est de (y+3) heures

Puisque la distance parcourue = xy

xy = (x-1)(y+3)

xy = xy – 1y + 3x – 3

xy = xy + 3x – 1y – 3

3x – y – 3 = 0 —————–(iii)

Ajouter l’éq. (ii) et (iii), et on obtient

x – 4 = 0

x = 4

Maintenant, y peut être obtenu en utilisant x = 4 dans (ii)

-2(4) + y – 1 = 0

y = 1 + 8 = 9

Par conséquent, en mettant la valeur de x et y dans l’équation (i), nous trouvons la distance

Distance parcourue = xy

= 4 × 9

= 36km

Ainsi, la distance est de 36 km et la vitesse de marche est de 4 km/h.

Question 6. Une personne ramant à une vitesse de 5 km/h en eau calme, met trois fois plus de temps à aller 40 km en amont qu’à 40 km en aval. Trouvez la vitesse du flux.

Solution:

Supposons que x soit la vitesse du flux.

Comme nous le savons,

Vitesse du bateau en aval = (5 + x) et,

Vitesse du bateau en amont = (5 – x)

Il est donné que,

La distance dans un sens est de 40 km. et,

Temps pris pendant l’amont = 3 × temps pris pendant l’aval

En l’exprimant par des équations, on a

40/ (5 – x) = 3 x 40/ (5 + x) (Comme nous savons que distance = vitesse x temps)

Par multiplication croisée, on obtient

(5+x) = 3(5-x)

5 + x = 3 (5 – x)

x + 3x = 15 – 5

x = 10/4 = 2,5

La vitesse du courant est donc de 2,5 km/h.

Question 7. Ramesh parcourt 760 km jusqu’à son domicile en partie en train et en partie en voiture. Il met 8 heures s’il parcourt 160 km en train et le reste en voiture. Il met 12 minutes de plus s’il parcourt 240 km en train et le reste en voiture. Trouvez la vitesse du train et de la voiture respectivement.

Solution:

Supposons que la vitesse du train soit x km/h et,

La vitesse de la voiture = y km/h

De la question, on comprend qu’il y a deux cas

Cas 1 : Quand Ramesh parcourt 160 Km en train et le reste en voiture.

Cas 2 : Quand Ramesh parcourt 240Km en train et le reste en voiture.

Cas 1 : Temps mis par Ramesh pour parcourir 160 km en train = 160/x h (Comme on sait que distance = vitesse x temps)

Temps mis par Ramesh pour parcourir le…