Classe 10 RD Sharma Solutions – Chapitre 15 Domaines liés aux cercles – Exercice 15.4 | Ensemble 1

Question 1. Un tracé se présente sous la forme d’un rectangle ABCD ayant un demi-cercle sur BC comme le montre la figure. Si AB = 60 m et BC = 28 m, trouvez l’aire du tracé.

Solution:

Étant donné que, ABCD est un rectangle

Donc AB = CD = 60 m

Et, BC = AD = 28 m

Donc, le rayon du demi-cercle = BC/2 = 28/2 = 14 m

Maintenant, nous trouvons l’aire du tracé = Aire du rectangle ABCD + Aire du demi-cercle

= (lxb) + 1/2 r2

= (60 x 28) + 1/2 (22/7)(14)2

= 1680 + 308

= 1988 cm2

Par conséquent, l’aire de la parcelle est de 1988 cm2

Question 2. Un terrain de jeu a la forme d’un rectangle, avec deux demi-cercles sur ses petits côtés comme diamètres, ajoutés à son extérieur. Si les côtés du rectangle mesurent 36 m et 24,5 m, trouvez l’aire de l’aire de jeux. (Prenez π = 22/7).

Solution:

Étant donné que,

Longueur du rectangle = 36 m

Largeur du rectangle = 24,5 m

Donc, le rayon du demi-cercle = largeur/2 = 24,5/2 = 12,25 m

Maintenant on trouve l’aire du terrain de jeu = Aire du rectangle + 2 x aire des demi-cercles

= lxb + 2 x 1/2 (πr2)

= (36 x 24,5) + (22/7) x (12,25)2

= 882 + 471.625 = 1353.625

Par conséquent, la superficie de l’aire de jeux est de 1353,625 m2

Question 3. Trouvez l’aire du cercle dans laquelle est inscrit un carré d’aire 64 cm2. (Utiliser = 3,14)

Solution:

Étant donné que,

Aire du carré inscrit le cercle = 64 cm2

Côté2 = 64

Donc, Côté = 8 cm

Donc, AB = BC = CD = DA = 8 cm

Maintenant dans le triangle ABC,

En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient

AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 82 + 82

AC2 = 64 + 64 = 128

CA = √128 = 8√2 cm

Donc, l’angle B = 90o et AC étant le diamètre du cercle

et le rayon est AC/2 = 8√2/2 = 4√2 cm

On trouve maintenant l’aire du cercle = πr2 = 3.14(4√2)2

= 100,48 cm2

Par conséquent, l’aire du cercle est de 100,48 cm2

Question 4. Une pièce rectangulaire mesure 20 m de long et 15 m de large. De ses quatre coins, des quadrants de rayons 3,5 m ont été coupés. Trouvez l’aire de la partie restante.

Solution:

Étant donné,

Longueur du rectangle = 20 m

Largeur du rectangle = 15 m

Rayon du quadrant = 3,5 m

Maintenant, nous trouvons l’aire de la partie restante = (Aire du rectangle) – 4 x( Aire d’un quadrant)

= (lxb) – 4 x (1/4 x πr2)

= (lxb) – r2

= (20 x 15) – (22/7)(3,5)2

= 300 – 38,5

= 261,5 m2

Par conséquent, la superficie de la partie restante est de 261,5 m2

Question 5. Dans la figure, PQRS est un carré de 4 cm de côté. Trouvez l’aire du carré ombré.

Solution:

D’après la figure ci-dessus, nous savons que chaque quadrant est un secteur de 90o dans

un cercle de 1 cm de rayon. Autrement dit son 1/4 de cercle.

Donc, son aire = 1/4 x πr2

= 1/4 x (22/7)(1)2 = 22/28 cm2

Et, l’aire du carré = côté2

Il est donné que le côté = 4 cm

Donc, 42 = 16 cm2

L’aire du cercle = πr2 = π(1)2 = 22/7 cm2

Maintenant, nous trouvons l’aire de la région ombrée = aire du carré – aire du cercle – 4 x aire d’un quadrant

= 16 – 22/7 – (4 x 22/28)

= 16 – 22/7 – 22/7 = 16 – 44/7

= 68/7 cm2

Par conséquent, l’aire de la région ombrée est de 68/7 cm2

Question 6. Quatre vaches sont attachées aux quatre coins d’un carré de 50 m de côté, de sorte qu’elles ne peuvent tout simplement pas se rejoindre. Quelle zone sera laissée non pâturée ? (Voir figure)

Solution:

Étant donné,

Côté terrain carré = 50 m

Rayon d’un quadrant = 25 m

Maintenant, nous trouvons l’aire de la parcelle non pâturée = Aire de la parcelle – 4 x (aire d’un quadrant)

= Côté2 – 4 x (1/4 x πr2)

= (50)2 – 22/7 x (25)2

= 2500 – 1964,28

= 535,72 m2

Ainsi, la superficie de la parcelle non pâturée est de 535,72 m2

Question 7. Une vache est attachée avec une corde de 14 m de long au coin d’un champ rectangulaire de dimensions 20 mx 16 m, trouvez la superficie du champ dans laquelle la vache peut paître.

Solution:

La partie en pointillé est la zone sur laquelle la vache peut brouter.

Ainsi, à partir de la figure ci-dessus, la zone ombrée est la zone d’un quadrant

d’un cercle de rayon égal à la longueur de la corde.

Selon la question il est donné que la longueur de la corde est de 14m

Donc le rayon du cercle est de 14 cm

Maintenant, nous trouvons la zone requise = 1/4 x πr2

= 1/4 x 22/7 x (14)2

= 154 cm2

Par conséquent, la surface du champ dans laquelle la vache peut paître est de 154 cm2

Question 8. Un veau est attaché avec une corde de 6 m de long au coin d’une pelouse carrée en herbe de 20 m de côté. Si la longueur de la corde est augmentée de 5,5 m, trouvez l’augmentation de la surface de la pelouse herbeuse dans laquelle le veau peut brouter.

Solution:

Étant donné,

La longueur initiale de la corde = 6 m

Ensuite, on dit que la corde est augmentée de 5,5 m

Donc, la longueur augmentée de la corde = (6 + 5,5) = 11,5 m

Nous savons que le coin de la pelouse est un quadrant de cercle.

Maintenant, nous trouvons la zone requise = 1/4 x π(11,5)2 – 1/4 x π(5,5)2

= 1/4 x 22/7 (11,52 – 62)

= 1/4 x 22/7 (132,25 – 36)

= 1/4 x 22/7 x 96,25

= 75,625 cm2

Ainsi, l’augmentation de la surface de la pelouse herbeuse dans laquelle le veau peut brouter est de 75,625 cm2

Question 9. Un réservoir d’eau carré a un côté égal à 40 m. Il y a quatre parcelles herbeuses semi-circulaires tout autour. Trouvez le coût du gazonnage de la parcelle à Rs 1,25 par mètre carré (Prenez π = 3,14).

Solution:

Étant donné,

Côté du bac carré = 40 m

Et, le diamètre de la parcelle herbeuse semi-circulaire = côté du bac carré = 40 m

Donc, le rayon de la parcelle enherbée = 40/2 = 20 m

On trouve maintenant l’aire des quatre parcelles herbeuses semi-circulaires = 4 x 1/2 πr2

= 4 x 1/2 (3.14)(20)2

= 2512 m2

Taux de gazonnage de la parcelle = Rs 1,25 par m2

Donc, le coût pour 2512 m2 = (1,25 x 2512) = Rs 3140

Ainsi, la superficie des quatre parcelles herbeuses semi-circulaires est de 2512 m2

et le coût du gazonnage de la parcelle à 1,25 par mètre carré est de Rs 3140.

Question 10. Un parc rectangulaire mesure 100 m sur 50 m. Il est entouré de parterres de fleurs semi-circulaires tout autour. Trouvez le coût de nivellement des plates-bandes semi-circulaires à 60 paise par mètre carré. (Utilisez = 3,14).

Solution:

Étant donné,

Longueur du parc = 100 m et largeur du parc = 50 m

Le rayon des parterres semi-circulaires = la moitié du côté correspondant du parc rectangulaire

Donc, le rayon du plus grand parterre de fleurs = 100/2 = 50 m

et rayon du plus petit parterre = 50/2 = 25 m

Maintenant, nous trouvons la surface totale des parterres de fleurs = 2[Area of bigger flower bed + Area of smaller flower bed]

= 2[1/2 π(50)2 + 1/2 π(25)2]

=[(50)2 + (25)2]

= 3,14 x [2500 + 625]

= 9812,5 m2

Donc, taux de nivellement du parterre = 60 paise par m2

Le coût total du nivellement = 9812,5 x 60 = 588750 paise

= Rs 5887,50

Par conséquent, le coût de nivellement des parterres de fleurs semi-circulaires à 60 paise par mètre carré est de Rs 5887,50

Question 11. Le périmètre intérieur d’une piste d’athlétisme (indiqué sur la figure) est de 400 m. La longueur de chacune des portions droites est de 90 m et les extrémités sont des demi-cercles. Si la piste fait partout 14 m de large, trouvez l’aire de la piste. Trouvez également la longueur de la piste de course extérieure.

Solution:

Considérons le rayon du demi-cercle intérieur = r

Et celui du demi-cercle extérieur = R

Selon la question

La longueur de la portion droite = 90 m

Largeur de la piste = 14 m

Le périmètre intérieur de la piste = 400 m

Donc, le périmètre intérieur de la piste = BF + FRG + GC + CQB = 400

90 + r + 90 + r = 400

2 r + 180 = 400

2 x 22/7 xr = 220

r = 35 m

Donc, le rayon du demi-cercle extérieur = 35 + 14 = 49 m

Maintenant, nous trouvons l’aire de la piste = 2[Area of the rectangle AEFB + Area of semi-circle APD – Area of semi-circle BQC]

= 2[90 x 14 + 1/2 x 22/7 x 492 – 1/2 x 22/7 x 352]

= 2[1260 + 11 x 7 x 49 – 11 x 5 x 35]

= 2 [1260 + 3773 – 1925]

= 3 x 3108

= 6216 m2

Ainsi, la longueur de la piste de roulement extérieure = AE + APD + DH + HSE

= 90 + R + 90 + πR

= 180 + 2 R

= 180 + 2 x 22/7 x 49

= 180 + 308

= 488 mètres

Par conséquent, la superficie de la piste est de 6216 m2 et la longueur de la piste de course extérieure est de 488 m.

Question 12. Trouvez l’aire du chiffre, en cm carrés, avec une décimale près. (Prenez π = 22/7).

Solution:

Le rayon du demi-cercle = 10/2 = 5 cm

A partir de la figure ci-dessus,

L’aire de la figure = Aire du carré + Aire du demi-cercle – Aire du triangle AED

= 10 x 10 + 1/2 r2 – 1/2 x 6 x 8

= 100 + 1/2 (22/7)(5)2 – 24

= (700 + 275 – 168)/7

= (807)/7

= 115,3 cm2

Par conséquent, l’aire de la figure, en cm carré, est de 115,3 cm2

Question 13. Dans la figure, à partir d’une région rectangulaire ABCD avec AB = 20 cm, un triangle rectangle AED avec AE = 9 cm et DE = 12 cm, est coupé. A l’autre extrémité, en prenant BC comme diamètre, un demi-cercle est ajouté à l’extérieur de la région. Trouvez la zone de la région ombragée. (Utilisez = 22/7).

Solution:

Étant donné,

Longueur du rectangle ABCD = 20 cm

AE = 9 cm et DE = 12 cm

Donc, le rayon du demi-cercle = BC/2 ou AD/2

Maintenant dans le triangle AED,

En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient

AD = (AE2 + ED2) = √(92 + 122)

= (81 + 144)

= (225) = 15 cm

Alors, on sait que

L’aire du rectangle = 20 x 15 = 300 cm2

Et, l’aire du triangle AED = 1/2 x 12 x 9 = 54 cm2

Donc, le rayon du demi-cercle = 15/2 = 7,5 cm

Aire du demi-cercle = 1/2 π(15/2)2 = 1/2 x 3,14 x 7,52 = 88,31 cm2

Maintenant, nous trouvons l’aire de la région ombrée = Aire du rectangle ABCD + Aire du demi-cercle – Aire du triangle AED

= 300 + 88,31 – 54

= 334,31 cm2

Par conséquent, l’aire de la région ombrée est de 334,31 cm2

Question 14. De chacun des deux coins opposés d’un carré de 8 cm de côté, on coupe un quart de cercle de 1,4 cm de rayon. Un autre cercle de diamètre 4,2 cm est également découpé à partir du centre comme indiqué sur la figure. Trouvez l’aire de la partie restante (ombrée) du carré. (Utilisez = 22/7).

Solution:

Étant donné,

Côté du carré = 8 cm

Rayon du cercle = 4,2 cm

Rayon du quadrant = 1,4 cm

Maintenant, nous trouvons l’unrea de la potion ombrée = Aire du carré – Aire du cercle – 2 x Aire du quadrant

= côté2 – πr2 – 2 x 1/2 πr2

= 82 – (4.2)2 – 2 x 1/2 (1.4)2

= 64 – 22/7 (4,2 x 4,2) – 22/7 (1,4 x 1,4)

= 64 – 388,08/7 – 21,56/7

= 5,48 cm2

Par conséquent, l’aire de la potion ombrée est de 5,48 cm2

Question 15. Dans la figure, ABCD est un rectangle avec AB = 14 cm et BC = 7 cm. En prenant DC, BC et AD comme diamètres, trois demi-cercles sont dessinés comme indiqué sur la figure. Trouvez la zone de la région ombragée.

Solution:

Étant donné que,

ABCD est un rectangle avec AB = 14 cm et BC = 7 cm

A partir de la figure ci-dessus, nous trouvons

L’aire de la région ombrée = Aire du rectangle ABCD + 2 x aire du demi-cercle avec AD et BC comme diamètres – aire du demi-cercle avec DC comme diamètre

= 14×7…