Classe 12 RD Sharma Solutions – Chapitre 16 Tangentes et normales – Exercice 16.1 | Ensemble 1

Question 1. Trouvez les pentes de la tangente et de la normale aux courbes suivantes aux points indiqués :

(i) y = √x3 à x = 4

(ii) y = √x à x = 9

(iii) y = x3 – x à x = 2

(iv) y = 2×2 + 3 sin x à x = 0

(v) x = a(θ – sin θ), y = a(1 + cos θ) à θ = –π/2

(vi) x = un cos3 θ, y = un sin3 θ à θ = π/4

(vii) x = a(θ – sin θ), y = a(1 – cos θ) à θ = π/2

(viii) y = (sin 2x + cot x + 2)2 à x = π/2

(ix) x2 + 3y + y2 = 5 à (1, 1)

(x) xy = 6 à (1, 6)

Solution:

On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

Et pente de la normale = –1/pente de la tangente = –1/(dy/dx).

(i) y = √x3 à x = 4

En différenciant y = √x3 par rapport à x, on obtient,

Pente de la tangente = 3×1/2/2

En x = 4, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = 3(4)1/2/2 = 3(2)/2 = 3

Et la pente de la normale à x = 4 est de –1/3.

(ii) y = √x à x = 9

En différenciant y = √x par rapport à x, on obtient,

Pente de la tangente = x–1/2/2

En x = 9, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = 9–1/2/2 = 1/[(3)(2)] = 1/6

Et la pente de la normale à x = 9 est de –6.

(iii) y = x3 – x à x = 2

En différenciant y = x3 – x par rapport à x, on obtient,

Pente de la tangente = 3×2 – 1

A x = 2, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = 3(2)2 – 1 = 3(4) – 1 = 11

Et la pente de la normale à x = 2 est –1/11.

(iv) y = 2×2 + 3 sin x à x = 0

En différenciant y = 2×2 + 3 sin x par rapport à x, on obtient,

Pente de la tangente = 4x + 3 cos x

A x = 0, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = 4(0) + 3 cos 0 = 3.

Et la pente de la normale à x = 0 est –1/3.

(v) x = a (θ – sin θ), y = a (1 + cos θ) à θ = –π/2

En différenciant x = a (θ – sin θ) par rapport à θ, on obtient,

=> dx/dθ = a (1 – cos θ) . . . . (1)

En différenciant y = a (1 + cos θ) par rapport à θ, on obtient,

=> dy/dθ = a (–sin θ) . . . . (2)

En divisant (2) par (1), on obtient,

dy/dx = Pente de la tangente = –sin θ/(1 – cos θ)

A = –π/2, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = –sin (–π/2)/(1 – cos (–π/2))

= 1/(1–0)

= 1

Et la pente de la normale à θ = –π/2 est –1.

(vi) x = un cos3 θ, y = un sin3 θ à θ = π/4

En différenciant x = a cos3 θ par rapport à θ, on obtient,

=> dx/dθ = a [(3cos2 θ) (–sin θ)]

= –3a cos2 sin θ . . . . (1)

En différenciant y = a sin3 θ par rapport à θ, on obtient,

=> dy/dθ = a [(3sin2 θ) (cos θ)]

= 3a sin2 cos θ . . . . (2)

En divisant (2) par (1), on obtient,

dy/dx = Pente de la tangente == – bronzage θ

A θ = π/4, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = – tan (π/4)

= -1

Et la pente de la normale à θ = π/4 est 1.

(vii) x = a (θ – sin θ), y = a (1 – cos θ) à θ = π/2

En différenciant x = a (θ – sin θ) par rapport à θ, on obtient,

=> dx/dθ = a (1 – cos θ) . . . . (1)

En différenciant y = a (1 – cos θ) par rapport à θ, on obtient,

=> dy/dθ = a (sin θ) . . . . (2)

En divisant (2) par (1), on obtient,

dy/dx = Pente de la tangente = sin θ/(1−cosθ)

= – bronzage θ

A = π/2, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = sin π/2/(1−cos π/2)

= 1/(1−0)

= 1

Et la pente de la normale à θ = π/2 est −1.

(viii) y = (sin 2x + cot x + 2)2 à x = π/2

En différenciant y = (sin 2x + cot x + 2)2 par rapport à x, on obtient,

Pente de la tangente = 2 (sin 2x + cot x + 2) (2 cos 2x – cosec2 x)

En x = /2, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = 2 (sin 2(π/2) + cot π/2 + 2) (2 cos 2(π/2) – cosec2 (π/2))

= 2 (0 + 0 + 2) (–2 – 1)

= –12

Et la pente de la normale à x = /2 est de 1/12.

(ix) x2 + 3y + y2 = 5 à (1, 1)

En différenciant x2 + 3y + y2 = 5 par rapport à x, on obtient,

=> 2x + 3 (dy/dx) + 2y (dy/dx) = 0

=> 2x + dy/dx (2y+3) = 0

=> Pente de la tangente = dy/dx = –2x/(2y+3)

En x = 1 et y = 1, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = –2(1)/[2(1)+3] = –2/5

Et la pente de la normale à (1, 1) est 5/2.

(x) xy = 6 à (1, 6)

En différenciant xy = 6 par rapport à x, on obtient,

=> x (dy/dx) + y = 0

=> Pente de la tangente = dy/dx = –y/x

En x = 1 et y = 6, la pente de la tangente devient,

Pente de la tangente = –6/1 = –6

Et la pente de la normale à (1, 6) est de 1/6.

Question 2. Trouvez les valeurs de a et b si la pente de la tangente à la courbe xy + ax + by = 2 en (1, 1) est 2.

Solution:

On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

En différenciant xy + ax + par = 2 par rapport à x, on obtient

=> x (dy/dx) + y + a + b (dy/dx) = 2

=> dy/dx = −(a+y)/(x+b)

Comme on nous donne dy/dx = 2, nous obtenons,

=> −(a+y)/(x+b) = 2

Maintenant à x = 1 et y = 1, nous obtenons,

=> −(a+1)/(1+b) = 2

=> −a − 1 = 2 + 2b

=> a + 2b = –3 . . . . (1)

Maintenant, le point (1, 1) se trouve également sur la courbe, nous avons donc,

=> 1 × 1 + a × 1 + b × 1 = 2

=> 1 + a + b = 2

=> a + b = 1 . . . . (2)

En soustrayant (1) de (2), on obtient,

=> –b = 1+3

=> b = –4

En mettant b = –4 dans (1), on obtient,

=> a = 1+4 = 5

Par conséquent, la valeur de a est 5 et b est –4.

Question 3. Si la tangente à la courbe y = x3 + ax + b en (1, –6) est parallèle à la droite x – y + 5 = 0, trouve a et b.

Solution:

On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

En différenciant y = x3 + ax + b par rapport à x, on obtient

=> dy/dx = 3×2 + a

Maintenant à x = 1 et y = –6, nous obtenons,

=> dy/dx = 3(1)2 + a

=> dy/dx = 3 + a . . . . (1)

Or cette courbe est parallèle à la droite x – y + 5 = 0.

=> y = x + 5

Par conséquent, la pente de la ligne est de 1. Ainsi, la pente de la courbe sera également de 1 car la pente des lignes parallèles est égale. Ainsi, à partir de (1), nous obtenons,

=> dy/dx = 1 . . . . (2)

De (1) et (2), on obtient,

=> un + 3 = 1

=> a = –2 . . . . (3)

Maintenant à x = 1 et y = –6, notre courbe y = x3 + ax + b devient,

=> –6 = 1 + a + b

=> a + b = –7

En utilisant (3), on obtient,

=> b = –7 – (–2)

=> b = –5

Par conséquent, la valeur de a est -2 et b est -5.

Question 4. Trouvez un point sur la courbe y = x3 – 3x où la tangente est parallèle à la corde joignant (1, – 2) et (2, 2).

Solution:

On nous donne les coordonnées de l’accord (1, – 2) et (2, 2).

Par conséquent, pente de la corde == 4

La courbe donnée est y = x3 – 3x. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> dy/dx = 3×2 – 3

La tangente étant parallèle à la corde, sa pente doit être égale à 4.

=> 3×2 – 3 = 4

=> 3×2 = 7

=> x =

En mettant la valeur de x dans la courbe y = x3 – 3x, on obtient

=> y = x (x2 – 3)

=> y =

=> y =

Par conséquent, le point requis est.

Question 5. Trouvez un point sur la courbe y = x3 – 2×2 – 2x auquel les lignes tangentes sont parallèles à la ligne y = 2x – 3.

Solution:

La courbe donnée est y = x3 – 2×2 – 2x. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> dy/dx = 3×2 – 4x – 2 . . . . (1)

Maintenant, cette courbe est parallèle à la ligne y = 2x – 3 dont la pente est de 2. Donc, la pente de la courbe sera également de 2. Donc, à partir de (1), nous obtenons,

=> 3×2 – 4x – 2 = 2

=> 3×2 – 6x + 2x – 4 = 0

=> 3x (x – 2) + 2 (x – 2) = 0

=> (x – 2) (3x + 2) = 0

=> x = 2 ou x = –2/3

Si x = 2, on obtient

y = (2)3 – 2 × (2)2 – 2 × (2)

= 8 – 8 – 4

= – 4

Et si x = –2/3, on obtient,

y = (–2/3)3 – 2 × (–2/3)2 – 2 × (–2/3)

=

= 4/27

Par conséquent, (2, –4) et (–2/3, 4/27) sont les points requis.

Question 6. Trouvez un point sur la courbe y2 = 2×3 auquel la pente de la tangente est 3.

Solution:

La courbe donnée est y2 = 2×3. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> 2y dy/dx = 6×2

=> dy/dx = 3×2/y . . . . (1)

Comme il est donné que la pente de la tangente est 3, on obtient,

=> 3×2/an = 3

=> 3×2 = 3 ans

=> x2 = y

En mettant cela dans la courbe y2 = 2×3, nous obtenons,

=> (x2)2 = 2×3

=> x4 − 2×3 = 0

=> x3 (x − 2) = 0

=> x = 0 ou x = 2

Si x = 0, nous obtenons, y = 0. En mettant ces valeurs dans (1), nous obtenons dy/dx = 0, ce qui n’est pas possible car la valeur donnée de la pente est 3.

Et si x =2, on obtient y = 4.

Par conséquent, le point requis est (2, 4).

Question 7. Trouvez un point sur la courbe xy + 4 = 0 auquel les tangentes sont inclinées à un angle de 45o avec l’axe des x.

Solution:

La courbe donnée est xy + 4 = 0. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> x (dy/dx) + y = 0

=> dy/dx = −y/x . . . . (1)

On nous donne que la tangente est inclinée à un angle de 45o avec l’axe des x. Donc la pente de la tangente est,

dy/dx = bronzage 45o = 1.

Ainsi, (1) devient,

=> −y/x = 1

=> y = −x

En mettant cela dans la courbe xy + 4 = 0, nous obtenons,

=> x(−x) + 4 = 0

=> x2 = 4

=> x = ±2

Lorsque x = 2, y = -2.

Et quand x = -2, y = 2.

Par conséquent, les points requis sont (2, – 2) & (– 2, 2).

Question 8. Trouvez un point sur la courbe y = x2 où la pente de la tangente est égale à la coordonnée x du point.

Solution:

La courbe donnée est y = x2. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> dy/dx = 2x . . . . (1)

On sait que la pente de la tangente est égale à la coordonnée x – du point.

Par conséquent, dy/dx = x . . . . (2)

De (1) & (2), on obtient,

2x = x

=> x = 0

En mettant cela dans la courbe y = x2, nous obtenons,

=> y = 02

=> y = 0

Par conséquent, le point requis est (0, 0).

Question 9. A quel point du cercle x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0, la tangente est parallèle à l’axe x –.

Solution:

Le cercle donné est x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> 2x + 2y (dy/dx) – 2 – 4 (dy/dx) = 0

=> dy/dx = (1– x)/(y– 2)

Comme la tangente est parallèle à l’axe des x, sa pente est égale à 0.

Donc, (1– x)/(y– 2) = 0

=> x = 1

En mettant x = 1 dans le cercle x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0, on obtient,

=> 1 + y2 – 2 – 4y +1 = 0

=> y2 – 4y = 0

=> y (y – 4) = 0

=> y = 0 et y = 4

Par conséquent, les points requis sont (1, 0) et (1, 4).

Question 10. À quel point de la courbe y = x2 la tangente fait-elle un angle de 45o avec l’axe des x ?

Solution:

La courbe donnée est y = x2. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.

=> dy/dx = 2x . . . . (1)

On nous donne que la tangente est inclinée à un angle de 45o avec l’axe des x. Donc la pente de la tangente est

Par conséquent, dy/dx = tan 45o = 1 . . . . (2)

De (1) & (2), on obtient,

2x = 1

=> x = 1/2

En mettant cela dans la courbe y = x2, nous obtenons,

=> y = (1/2)2

=> y = 1/4

Par conséquent, le point requis est (1/2, 1/4).

Attention lecteur ! N’arrêtez pas d’apprendre maintenant. Rejoins Cours First-Step-to-DSA pour les élèves des classes 9 à 12 , spécialement conçu pour introduire des structures de données et des algorithmes aux classes 9 à 12…