![Imprimez toutes les sous-séquences en diminuant d’abord puis en augmentant en sélectionnant N/2 éléments de [1, N]](https://geektechnique.net/wp-content/uploads/2021/09/Imprimez-toutes-les-sous-sequences-en-diminuant-dabord-puis-en-augmentant.png)
Table des matières
Question 11. Trouvez les points sur la courbe y = 3×2 − 9x + 8 auxquels les tangentes sont également inclinées avec les axes.
Solution:
La courbe donnée est y = 3×2 − 9x + 8. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> dy/dx = 6x − 9 . . . . (1)
On nous donne que la tangente est également inclinée avec les axes. Donc θ = π/4 ou –π/4.
Par conséquent, la pente de la tangente est de ±1.
=> 6x − 9 = 1 ou 6x − 9 = –1
=> 6x = 10 ou 6x = 8
=> x = 5/3 ou x = 4/3
Lorsque x = 5/3,
y = 3 (5/3)2 − 9 (5/3) + 8 = 4/3
Lorsque x = 4/3,
y = 3 (4/3)2 − 9 (5/3) + 8 = 4/3
Par conséquent, les points requis sont (5/3, 4/3) et (4/3, 4/3).
Question 12. En quels points de la courbe y = 2×2 − x + 1 la tangente est-elle parallèle à la droite y = 3x + 4 ?
Solution:
La courbe donnée est y = 2×2 − x + 1. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> dy/dx = 4x − 1 . . . . (1)
On nous donne que la tangente est parallèle à la ligne y = 3x + 4. Maintenant, la pente de la ligne est 3, donc la pente de la tangente doit également être 3. Donc, nous avons,
=> 4x − 1 = 3
=> x = 1
En mettant x = 1 dans la courbe y = 2×2 − x + 1, on obtient
y = 2(1) − 1 + 1 = 2
Par conséquent, le point requis est (1, 2).
Question 13. Trouvez le point de la courbe y = 3×2 + 4 auquel la tangente est perpendiculaire à la droite dont la pente est −1/6.
Solution:
La courbe donnée est y = 3×2 + 4. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> dy/dx = 6x
On sait que la tangente est perpendiculaire à la droite dont la pente est -1/6. Le produit des deux pentes doit donc être -1.
Donc la pente de la tangente, dy/dx = 6.
=> 6x = 6
=> x = 1
En mettant x = 1 dans la courbe y = 3×2 + 4, on obtient,
=> y = 3(1)2 + 4 = 3 + 4 = 7
Par conséquent, (1, 7) est le point requis.
Question 14. Trouvez les points sur la courbe x2 + y2 = 13, dont la tangente à chacun est parallèle à la droite 2x + 3y = 7.
Solution:
La courbe donnée est x2 + y2 = 13. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> 2x + 2y dy/dx = 0
=> dy/dx = −x/y . . . . (1)
On sait que la tangente est parallèle à la droite 2x + 3y = 7.
=> 3y = -2x + 7
=> y = −(2/3)x + 7/3
Par conséquent, la pente de la ligne est de -2/3 et la pente de la tangente est également de -2/3 car les pentes des lignes parallèles sont égales.
=> dy/dx = -2/3 . . . . (2)
De (1) et (2), on obtient,
=> −x/y = −2/3
=> x = 2y/3 . . . . (3)
En mettant x = 2y/3 dans la courbe x2 + y2 = 13, on obtient,
=> 4y2/9 + y2 = 13
=> 13y2/9 = 13
=> y2 = 9
=> y = ±3
En mettant y = ±3, dans (3), on obtient,
Lorsque y = 3, x = 2 et lorsque y = -3, x = -2.
Par conséquent, les points requis sont (2, 3) et (-2, -3).
Question 15. Trouvez les points sur la courbe 2a2y = x3 − 3ax2 où la tangente est parallèle à l’axe des x.
Solution:
La courbe donnée est 2a2y = x3 − 3ax2. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> 2a2 dy/dx = 3×2 − 3a (2x)
=> dy/dx = 
Il est donné que la tangente est parallèle à l’axe des x, donc la pente de la tangente devient 0.
=> 
= 0
=> 3x (x − 2a) = 0
=> x = 0 ou x = 2a
Lorsque x = 0, la valeur de y de la courbe est,
=> y = 
=> y = 
=> y = 0
Et quand x = 2a, la valeur de y est,
=> y = 
=> y = 
=> y = -2a
Par conséquent, les points requis sont (0, 0) et (2a, -2a).
Question 16. En quels points de la courbe y = x2 − 4x + 5 la tangente est-elle perpendiculaire à la droite 2y + x = 7 ?
Solution:
La courbe donnée est y = x2 − 4x + 5. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> dy/dx = 2x − 4 . . . . (1)
On suppose que la tangente est perpendiculaire à la droite 2y + x = 7.
=> 2y = −x + 7
=> y = −(1/2)x + 7/2
Par conséquent, la pente de la ligne est de −1/2 et le produit de cette pente par celui de la tangente est de −1 car les deux lignes sont perpendiculaires l’une à l’autre.
Donc, la pente de la tangente est 2.
=> dy/dx = 2 . . . . (2)
De (1) et (2), on obtient,
=> 2x − 4 = 2
=> x = 3
En mettant cela dans la courbe y = x2 − 4x + 5, nous obtenons
=> y = x2 − 4x + 5
= (3)2 − 4(3) + 5
= 2
Par conséquent, le point requis est (3, 2).
Question 17. Trouvez les points sur la courbe x2/4 + y2/25 = 1 auxquels les tangentes sont
(i) parallèle à l’axe des x
Solution:
La courbe donnée est x2/4 + y2/25 = 1. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> 2x/4 + 2y/25 (dy/dx) = 0
=> dy/dx = −25x/4y
Étant donné que la tangente est parallèle à l’axe des x, sa pente doit être de 0.
=> -25x/4y = 0
=> x = 0
En mettant cela dans la courbe x2/4 + y2/25 = 1, nous obtenons
=> y2= 25
=> y = ±5
Par conséquent, les points requis sont (0, 5) et 0, -5).
(ii) parallèle à l’axe des y
Solution:
Pente de la tangente = dy/dx = −25x/4y
Par conséquent, pente de la normale = 
= 4 ans/25x
Étant donné que la tangente est parallèle à l’axe des y, la pente de la normale doit être 0.
=> 4y/25x = 0
=> y = 0
En mettant cela dans la courbe x2/4 + y2/25 = 1, nous obtenons
=> x2= 4
=> x = ±2
Par conséquent, les points requis sont (2, 0) et (−2, 0).
Question 18. Trouvez les points de la courbe x2 + y2 − 2x − 3 = 0 auxquels les tangentes sont parallèles à
(i) axe des abscisses
Solution:
La courbe donnée est x2 + y2 − 2x − 3 = 0. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> 2x + 2y (dy/dx) − 2 = 0
=> dy/dx = (1−x)/y
Étant donné que la tangente est parallèle à l’axe des x, sa pente doit être de 0.
=> (1−x)/y = 0
=> x = 1
En mettant cela dans la courbe x2 + y2 − 2x − 3 = 0, nous obtenons
=> 1 + y2 − 2 − 3 = 0
=> y2 = 4
=> y = ±2
Par conséquent, les points requis sont (1, 2) et (1, −2).
(ii) axe des y
Solution:
Pente de la tangente = dy/dx = (1−x)/y
Par conséquent, pente de la normale = 
= y/(x−1)
Étant donné que la tangente est parallèle à l’axe des y, la pente de la normale doit être 0.
=> y/(x−1) = 0
=> y = 0
En mettant cela dans la courbe x2 + y2 − 2x − 3 = 0, nous obtenons
=> x2 − 2x − 3 = 0
=> x = -1, 3
Par conséquent, les points requis sont (−1, 0) et (3, 0).
Question 19. Trouvez des points sur la courbe x2/9 + y2/16 = 1 auquel les tangentes sont
(i) parallèle à l’axe des x
Solution:
La courbe donnée est x2/9 + y2/16 = 1. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> 2x/9 + 2y/16 (dy/dx) = 0
=> dy/dx = −16x/9y
Étant donné que la tangente est parallèle à l’axe des x, sa pente doit être de 0.
=> -16x/9y = 0
=> x = 0
En mettant cela dans la courbe x2/9 + y2/16 = 1, nous obtenons
=> y2= 16
=> y = ±4
Par conséquent, les points requis sont (0, 4) et 0, -4).
(ii) parallèle à l’axe des y
Solution:
Pente de la tangente = dy/dx = −16x/9y
Par conséquent, pente de la normale = 
= 9 ans/16x
Étant donné que la tangente est parallèle à l’axe des y, la pente de la normale doit être 0.
=> 9y/16x = 0
=> y = 0
En mettant cela dans la courbe x2/9 + y2/16 = 1, nous obtenons
=> x2= 9
=> x = ±3
Par conséquent, les points requis sont (3, 0) et (−3, 0).
Question 20. Montrez que les tangentes à la courbe y = 7×3 + 11 aux points où x = 2 et x = −2 sont parallèles.
Solution:
La courbe donnée est y = 7×3 + 11. Nous savons que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> dy/dx = 21×2
Maintenant, la pente à x = 2 est
=> dy/dx = 21(2)2 = 84
Et la pente à x = −2 est,
=> dy/dx = 21(−2)2 = 84
Comme les pentes en x = 2 et x = −2 sont égales, ces tangentes sont parallèles.
Donc prouvé.
Question 21. Trouvez les points sur la courbe y = x3 où la pente de la tangente est égale à la coordonnée x du point.
Solution:
La courbe donnée est y = x3. On sait que la pente de la tangente d’une courbe est donnée par dy/dx.
=> dy/dx = 3×2
On sait que la pente de la tangente est égale à l’abscisse du point.
=> 3×2 = x
=> x(3x − 1) = 0
=> x = 0 ou x = 1/3
Lorsque x = 0, y = 03 = 0
Et quand x = 1/3, y = (1/3)3 = 1/27
Par conséquent, les points requis sont (0, 0) et (1/3, 1/27).
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